已知fx是定义在R上的偶函数，对任意x€R都有f(x+6)=f(x)+2f(3)且f(-1)=2则f

Question

已知fx是定义在R上的偶函数，对任意x€R都有f(x+6)=f(x)+2f(3)且f(-1)=2则f(2011)等于。

Answer 1

偶函数f(-x)=f(x),f(-1)=2,
所以f(1)=f(-1)=2,
f(x+6)=f(x)+2f(3),令x=-3得f(3)=f(-3)+2f(3),所以f(3)=0,
所以f(x+6)=f(x),
f(2011)=f(1+335*6)=f(1)=2

Answer 2

令x=-3,得f(3)=f(-3)+2f(3),即f(-3)+f(3)=0
偶函数可知f(-3)=f(3)
所以f(-3)=f(3)=0

由f(x+6)=f(x)+2f(3)

可知f(x+6)-f(x)=2f(3)=0
即f(x)是周期函数且6是周期
因为2011=335*6+1

所以f(2011)=f(335*6+1)=f(1)
由偶函数可知f(1)=f(-1)=2
所以f(2011)=2

Answer 3

此类题目一般是考周期函数。首先先解决f(3)。令x=-3,可得f(3)=f(-3)+2f(3)，又因为f(x)是偶函数，所以f(3)=f(-3),所以f(3)=0.所以对任意的x€R都有f(x+6)=f(x)，所以f(x)的最小正周期为6,
哪么f(2011)=f(6x335+1)=f(1)=f(-1)=2