多元函数在某一点极限不存在，那么这点偏导数是否存在？还有偏导数存在是趋于一个方向偏导数存在还是所有

Question

多元函数在某一点极限不存在，那么这点偏导数是否存在？还有偏导数存在是趋于一个方向偏导数存在还是所有方向偏导数存在？题目上就说在某一点偏导数不存在，只用证明fx(x,y)=fy（x,y)=常数A就说明偏导数存在吗？在线等急。

Answer 1

多元函数在某一点的极限不存在可以说明在这个点处不连续，但不能说明在这个点的偏导数不存在，例如分段函数f(x,y)=xy/(x^2+y^2),x^2+y^2不等于0，f(x,y)=0,x^2+y^2=0这个函数在点(0，0)处的偏导数极限不存在，但他在(0，0)处的偏导数值是存在的，fx(0,0)=fy(0,0)=0。希望以后回答别人问题的人能先弄清正确答案，不要想当然，这样不光会误导问问题的人还会影响后面看到这个问题的人，我看了前一位大佬的回答后就被误导了，后来问了高数老师才明白

Answer 2

多元函数在某一点极限不存在，则在此点不连续，故不存在偏导数，偏导数是指沿某一个固定方向的导数，不是所有方向。fx(x,y)=fy（x,y)=常数A不能证明此点在某一方向的偏导数存在或不存在。追问

那应该怎么证明偏导数存在

要证明趋近于每一个方向的极限存在，才能说明存在偏导数？

追答

证明某一方向的偏导数的方法与证明一元函数导数存在的方法一致。

追问

那题目上说的偏导数在某一点时存在就是在每一个方向都存在偏导数？也就是说这个函数在这一点趋近于各个方向时的极限都相等对吧？

请把这个问题也解答了吧，大神，答完加分…谢谢0.0

追答

偏导数在某一点时存在严格来说是指某一方向的偏导数存在。比如存在对x的偏导数，不能推出对y也存在偏导数。某点存在偏导数，不能说明此点连续故不能说明趋近于各个方向时的极限都相等。

按照二重积分的运算规则，pdp应一起积分，你不能把p提出去和dθ一起积分吧。

追问

忘记加分了…

不好意思啊

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Answer 3

多元函数在某一点极限不存在，不排除还有偏导数存在但不是所有方向偏导数存在。反之极限存在也不一定存在偏导数，题目上就说在某一点偏导数不存在，只用证明fx(x,y)=fy（x,y)=常数A就说明偏导数存在吗？在线等急。

Answer 4

极限不存在，偏导数可能存在。例如f(x,y)＝{xy/(x²+y²),(x,y)不=(0,0) 0,(x,y)=(0,0).
它的极限不存在，但是偏导数存在。