高等数学 等价无穷小问题

Question

这道题最后一步 难道sin((tanx)^2)~sinx^2~x^2 可以这么用等价无穷小？
还有就是我看有的题可以直接求极限是可以把极限趋近的数部分带入极限来算
如lim(x->0)(cosx-(cosx)^2)/x^2
把0带入cosx然后再用等价无穷小化为1-(cosx)^2~1/2x^2
算出极限是1/2 我用洛必达法则也算过了 答案没错 我想问一下这样部分带入值来算极限需要满足什么先提条件么？

Answer 1

在函数乘和除的时候可以用等价无穷小，复合函数乘除的时候也是可以的，但一般情况下加和减必须代入函数的泰勒展开，(cosx-(cosx)^2)/x^2这个最好的方法是用Cos的泰勒展开，Cosx = 1 - x^2/2 + ......所以可以记为Cosx = 1-x^2/2 + O(x^3)
cosx - cos^2x = 1 - x^2/2 + O(x^3) - [1 - x^2/2 + O(x^3)]^2 = [1 - x^2/2 + O(x^3)] * [1 - (1 - x^2/2 + O(x^3)) ] = [1 - x^2/2 + O(x^3)] * (x^2/2 - O(x^3)
这里可以看出，实际上的做法应该是cosx-cos^x = cosx(1-cosx) = 1 * x^2/2这么来做的，你直接把第一个cosx用1代入实际上不对，只是最后碰巧答案刚好相同而已。

这个虽然用泰勒展开后代入稍微比较麻烦，但是很多奇怪的极限都只能靠这种方法来求，而且实际计算都不是那么的复杂。

Answer 2

乘除因子的时候才能用等价无穷小代，如a*b ，若a，b有自己的等价无穷小量， 那就可以代进去
a-b ，a+b，则都不能用等价无穷小
你的那个如…… 是不能把0代到题目里做的，至于结果为嘛一样，应该是巧合吧

Answer 3

最后一步sin((tanx)^2~tanx^2,之后可以约去一部分，剩下2tanx/cos²x/6x，
tanx~x，可求2x/cos²x/6x，求出1/3cos²x，再把x趋近于零带入