设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f′(x)≤0,并有 证明：在（a,b)内有F'（x)≤0

Question

如题所述

Answer 1

F(x)=∫ [a-->x] f(t)dt/(x-a)
F'(x)=( f(x)(x-a)-∫ [a-->x] f(t)dt )/(x-a)^2
由积分中值定理，存在ξ∈(a,x)，使∫ [a-->x] f(t)dt=f(ξ)(x-a)
则F'(x)=( f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a) )/(x-a)^2
=(f(x)-f(ξ))/(x-a)
由x在(a,b)内，x>a，由ξ∈(a,x)，则ξ<x，
由于f '(x)<0，则f(x)是减函数，则f(x)<f(ξ)
因此F'(x)=(f(x)-f(ξ))/(x-a)，分子为负，分母为正，所以F'(x)<0。