已知一次函数y=2x的图像与反比例函数y=k/x的图象交于m、n两点,且mn=2
倍根号5
(1)求反比例函数解析式
(2)若抛物线y=ax2(x平方)+bx+c经过m,n两点,证明此抛物线与x轴必有两个交点。
(3)若(2)中的抛物线与x轴的两个交点分别为a,b(点a在点b左侧),与y轴交于c点,连接ac,bc,若tan∠cab+tan∠cba=3,求次抛物线解析式
(我主要是第三问不会,请解答详细一点,之前在知道里看见有人回答了这题,但是看不懂。还有如果有人知道这题出自哪里的,也希望有人告知一下!)
(1)MN=2√5,则OM=MN/2=√5;设点M的横坐标为m,则纵坐标为2m.
OH²+MH²=OM²,即m²+4m²=5, m=1(即正值),即点M为(1,2).
反比例函数y=k/x过点M(1,2),则2=k/1,k=2.
∴反比例函数解析式为y=2/x.
(2)点M(1,2)关于点O对称的点N为(-1,-2),抛物线y=ax²+bx+c过点M和点N,则:
2=a+b+c;
-2=a-b+c.
得:b=2, c= -a.
则此二次函数为y=ax²+2x-a.
b²-4ac=4-4a*(-a)=4+4a²>0,故抛物线与X轴必有两个交点.
(3)当抛物线开口向上(a>0)时(如图中的红色抛物线),设点A为(X1,0),点B为(X2,0),则:OA=-X1,OB=X2,OC=│-a│=a,X1+X2=-2/a,X1*X2=-1.
tan∠CAB+tan∠CBA=OC/OA+OC/OB=3,即a/(-X1)+a/X2=3, a(X2-X1)=-3X1*X2=6.
a√[(X1+X2)²-4X1*X2]=6,a√(4/a²+4)=6, a=±2√2,a=2√2(取正值).
即抛物线解析式为:y=2√2X²+2X-2√2;
当抛物线开口向下时(如图中绿色抛物线),同理可求得其解析式为y=-2√2X²+2X+2√2.
【注: 实际上,(3)开始所求得的a=±2√2就是两种情况下的a值.】