椭圆焦半径公式

Question

如题所述

Answer 1

椭圆的焦半径公式为 r1=a+ex?，?r2=a-ex，其中e是离心率=c/a。
椭圆的焦半径
左：|PF|=a + ex0
右：|PF| =a - ex0
（x0为椭圆上任意一点P的横坐标）
双曲线的焦半径
左：|PF|=|ex0 + a|
右：|PF| =|ex0 - a|
（x0为双曲线上任意一点P的横坐标）
圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。圆锥曲线上一点到焦点的距离，不是定值。焦半径：曲线上任意一点与焦点的连线段焦点弦，过一个焦点的弦通径。过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦。
连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
圆锥曲线上一点到焦点的距离，不是定值。
抛物线
抛物线y2=2px (p>0)，C(x?，y?)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=x?+p/2。
扩展
椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1，F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。 焦点三角形面积公式是S=b2·tan (θ/2)（θ为焦点三角形的顶角）。
椭圆的焦点三角形性质为
（1）|PF1|+|PF2|=2a
（2）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ
（3）周长=2a+2c
（4）面积=S=b2·tan(θ/2)（∠F1PF2=θ）
证明
设P为椭圆上的任意一点P（不与焦点共线），
∠F2F1P=α ，∠F1F2P=β， ∠F1PF2=θ，
则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，
焦点三角形面积S=b2·tan(θ/2)。
椭圆的常见问题以及解法
椭圆通径长定理，指的是椭圆的通径AB就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段AB。可以由勾股定理推导。椭圆中的通径是通过焦点最短的弦。
例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用第一定义）：
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，
那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点
用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。