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    • 设σ是欧式空间V的一个线性变换,证明:如果σ是正交变换,那么σ保持任意两个向量的夹角不变，反之不然。

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    推荐答案   2012-06-18
    正交变换满足 σ^Tσ是恒等映射。因此对任意的两个非零向量a，b，有
    <σa，σb>=<a，σ^Tσb>=<a，b>，即正交变换保持内积不变，因此
    ||a||^2=<σa，σa>=<a，a>。长度不变。于是a与b的夹角cos(theta)
    =<a，b>/【||a||*||b||】在正交变换下是不变的。
    反之，考虑伸长变换即可。
    比如σa=2a，保持夹角不变，但不是正交变换。
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