偏导证明题。。

Question

如题所述

Answer 1

解：
这个好像不是证明题啊，这里给出推导！

根据已知，f(x,y)=C，其中C为任意常数，
因为其二阶偏导存在且连续，因此对上式连续求关于x的导数，则：

fx+fy·(dy/dx)=0
fxx+fxy·(dy/dx)+fyx·(dy/dx)+fyy·(dy/dx)²+fy(d²y/dx²)=0
对于隐函数求偏导，显然：
dy/dx = - {∂[f(x,y)-C]/∂x}/{∂[f(x,y)-C]/∂y} = -fx/fy
因此：
fxx+fxy·(-fx/fy)+fyx·(-fx/fy)+fyy·(-fx/fy)²+fy(d²y/dx²)=0
fxxfy-fxyfx-fyxfx+(fyyfx²/fy)+fy²(d²y/dx²)=0
fxxfy-2fxyfx+(fyyfx²/fy)+fy²(d²y/dx²)=0
fxxfy²-2fxyfxfy+fyyfx²+fy³(d²y/dx²)=0
∵f(x,y)=C 是直线，
∴f(x,y)=C中关于x,y的最高次数为1，即该函数是关于x和y的一次函数，显然：
d²y/dx²恒等于0
∴fxxfy²-2fxyfxfy+fyyfx²=0

上述求导就是充分条件，以下证明必要条件：
根据题设，f(x,y)存在连续二阶偏导，因此：
fxx+fxy·(-fx/fy)+fyx·(-fx/fy)+fyy·(-fx/fy)²+fy(d²y/dx²)=0
fxxfy-fxyfx-fyxfx+(fyyfx²/fy)+fy²(d²y/dx²)=0
又因为：
fxxfy²-2fxyfxfy+fyyfx²=0
因此：
fy²(d²y/dx²)=0
根据题意：
fy≠0
只能是：
d²y/dx²=0，即：
dy/dx=a，a为常数
y=ax+b
∴f(x,y)=C 为直线！
证毕！

综上：
f(x,y)=C为直线的充要条件为：
fxxfy²-2fxyfxfy+fyyfx²=0成立！