高中三角函数求解

Question

1. 证明sin 2 nx = sin((2n + 1)x) cos x – cos((2n + 1)x) sin x
2. Sin 4X/ 2sinX=1/2 0 < x < π.
求具体过程及解释。。。我很笨的，具体点

Answer 1

sin[(2n + 1)x]cosx - cos[(2n + 1)x]sinx
= sin[(2n + 1)x - x]
= sin(2nx + x - x)
= sin(2nx)
公式：sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsiny

sin4x/(2sinx) = 1/2，0 < x < π
sin4x = sinx
sin4x - sinx = 0
2cos[(4x + x)/2]sin[(4x - x)/2] = 0，公式sinx - siny = 2cos[(x + y)/2]sin[(x - y)/2]
cos(5x/2)sin(3x/2) = 0
cos(5x/2) = 0 OR sin(3x/2) = 0
5x/2 = π/2 OR 3x/2 = 0 OR 3x/2 = π，∵cos(π/2) = 0，sin(0) = 0，sin(π) = 0
x = π/5 OR x = 0 OR x = 2π/3，已知x > 0所以舍掉x = 0
∴x = π/5 OR x = 2π/3

Answer 2

1.由三角函数两角差的正弦公式sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ可以直接得到答案。
2.两种思路：
法一、用和差化积公式
sinα-sinβ=sin((α+β)/2 +(α-β)/2) - sin((α+β)/2 -(α-β)/2)
=[sin(α+β)/2 cos(α-β)/2) +cos(α+β)/2 sin(α-β)/2)]-[sin(α+β)/2 cos(α-β)/2) -cos(α+β)/2 sin(α-β)/2)]
=2cos(α+β)/2*sin(α-β)/2
由题意，sin4x=sinx x∈(0,π)， 所以sin4x-sinx=0
即2cos(5x/2)sin(3x/2)=0,从而知cos(5x/2)=0或sin(3x/2)=0
所以5x/2=π/2+kπ 3x/2=nπ (k、n∈Z)
由于x∈(0,π)，所以5x/2∈(0,5π/2)，因而k=0,1 ,；3x/2∈(0,3π/2)，n=1
因此x=π/5，3π/5或2π/3。
法二：利用正弦函数的图像
由题意，sin4x=sinx x∈(0,π)
所以4x∈(0,4π)
当x=π/2时，sinx=1，sin4x=0，此时sin4x≠sinx，因此x不可能为π/2。
当x∈(0,π/2)时，4x有三种可能：
(1).当4x∈(π/2,π)时，x+4x=π，此时x=π/5；
(2).当4x∈(2π,5π/2)时，4x=x+2π，此时x=2π/3；
(3).当4x∈(5π/2,3π)时，4x=π-x+2π，此时x=3π/5；
当x∈(π/2,π)时，4x有两种可能：
(1).当4x∈(2π,5π/2)时，4x-2π+x=π，此时x=3π/5；
(2).当4x∈(5π/2,3π)时，4x=x+2π，此时x=2π/3.
综上，x=π/5，3π/5或2π/3.

Answer 3

1.
由积化和差公式可知： sin((2n + 1)x) cos x = 1/2 *( sin((2n+2)x) + sin 2nx) (1)
cos((2n + 1)x) sin x = 1/2 *( sin((2n+2)x) - sin 2nx) (2)
(1)-(2) = sin 2nx
2.
sin 4x = 2 sin2x cos 2x = 4 sinx cosx cos 2x
Sin 4X/ 2sinX = 2 cos x cos 2x = 1/2
2 cos x ( 2(cos x)^2 - 1) = 1/2
8(cos x)^3 -4 cos x =1
cos x = -1/2
x = (2π)/3

Answer 4

1
左边=sin 2 nx =sin[(2n+1)x-x]= sin((2n + 1)x) cos x – cos((2n + 1)x) sin x=右边
（将sin 2 nx 化成两角差，a按两角差正弦公式展开）
2
∵sin4x/(2sinx) = 1/2，0 < x < π
sin4x = sinx
∴4x与x终边相同或终边关于y轴对称
∴4x=x+2kπ,或4x+x=2kπ+π,k∈Z
∴3x=2kπ,或5x=2kπ+π,k∈Z
∴x=2kπ/3,或x=2kπ/5+π/5,k∈Z
∵0 < x<π
∴x = π/5 或 x = 2π/3

Answer 5

1.右边直接用公式啊，sin((2n+1)x)cosx-cos((2n+1)x)sinx=sin[(2n+1)x-x]=sin2nx=左。
一楼好像看错题了，Sin 4X/ (2sinX)怎么会等于cos2x呢？