求函数z=x²+xy+y°的二阶偏导数一

Question

如题所述

Answer 1

要求函数 z = x² + xy + y° 的二阶偏导数，我们需要先计算一阶偏导数，然后再计算这些一阶偏导数的一阶偏导数。
首先，计算关于 x 的一阶偏导数：
∂z/∂x = ∂/∂x (x² + xy + y°)
= 2x + y
接下来，计算关于 y 的一阶偏导数：
∂z/∂y = ∂/∂y (x² + xy + y°)
= x + 0 + 0
= x
现在，我们来计算二阶偏导数：
对 ∂z/∂x 进行关于 x 的偏导数：
∂²z/(∂x)² = ∂/∂x (2x + y)
= 2
对 ∂z/∂y 进行关于 y 的偏导数：
∂²z/(∂y)² = ∂/∂y (x)
= 0
最后，我们还需要计算 ∂²z/(∂x∂y) 和 ∂²z/(∂y∂x)：
∂²z/(∂x∂y) = ∂/∂y (2x + y)
= 1
∂²z/(∂y∂x) = ∂/∂x (x)
= 1
综上所述，函数 z = x² + xy + y° 的二阶偏导数为：
∂²z/(∂x)² = 2
∂²z/(∂y)² = 0
∂²z/(∂x∂y) = 1
∂²z/(∂y∂x) = 1