a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=2,a^3+b^3+c^3=3,求abc和a^4+b^4+c^4

Question

如题所述

Answer 1

因为 a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) ，
所以 4=1-2(ab+bc+ca) ，解得 ab+bc+ca=-3/2 ，
又 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) ，
所以 3-3abc=2+3/2 ，解得 abc=-1/6 。

因为 (ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c) ，
所以 9/4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2*(-1/6)*1 ，
解得 a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=31/12 。
因为 (a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 ，
所以 a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=4-2*31/12=-7/6 。

Answer 2

解：
a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)
ab+bc+ca=[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]/2=(2²-3)/2=1/2
a³+b³+c³=(a²+b²+c²)(a+b+c)-a²b-a²c-ab²-b²c-ac²-bc²
=3×2-(a²b+ab²)-(a²c+ac²)-(b²c+bc²)
=6-ab(a+b)-ac(a+c)-bc(b+c)
=6-ab(2-c)-ac(2-b)-bc(2-a)
=6-2ab+abc-2ac+abc-2bc+abc
=6-2(ab+bc+ca)+3abc
=6-1+3abc
=5+3abc=4
abc=-1/3

a⁴+b⁴+c⁴
=(a³+b³+c³)(a+b+c)-a³b-a³c-ab³-cb³-ac³-bc³
=4×2-(a³b+ab³)-(a³c+ac³)-(b³c+bc³)
=8-ab(a²+b²)-ac(a²+c²)-bc(b²+c²)
=8-ab(3-c²)-ac(3-b²)-bc(3-a²)
=8-3ab+abc²-3ac+ab²c-3bc+a²bc
=8-3(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)
=8- 3/2 +(-1/3)×2
=8- 3/2 -2/3
=35/6

Answer 3

abc=1/6
……=25/6