高中数列问题求学霸解答

Question

如题所述

Answer 1

S1=a1=1>0，假设当n=k(k∈N+)时，Sk>0，则当n=k+1时
a(k+1)=2[√S(k+1)+√Sk]≥2(0+√Sk)=2√Sk>0
k为任意正整数，因此对于任意正整数n，a(n+1)恒>0
Sn恒>0
√Sn恒>0
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=[√Sn +√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)]=2[√Sn+√S(n-1)]
[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)-2]=0
√Sn恒>0 √Sn+√S(n-1)>0，因此只有√Sn-√S(n-1)=2，为定值
√S1=√a1=√1=1，数列{√Sn}是以1为首项，2为公差的等差数列
√Sn=1+2(n-1)=2n-1
Sn=(2n-1)²
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)
=(2n-1)²-[2(n-1)-1]²
=8n-8
n=1时，a1=8-8=0≠1
数列{an}的通项公式为
an=1 n=1
8n-8 n≥2

n=1时，T1=1/S1=1/1=1<5/4
n≥2时，
1/(2n-1)² -1/[2(n-1)(2n)]
=1/(2n-1)²-1/[4n(n-1)]
=[4n(n-1)-(2n-1)²]/[4n(2n-1)(n-1)]
=-1/[4n(2n-1)(n-1)]
<0
1/(2n-1)²<[1/(2n-2)][1/(2n)]
Tn=1/S1+1/S2+1/S3+...+1/Sn
=1+ 1/(2×2-1)²+ 1/(2×3-1)²+1/(2n-1)²
=1+1/3²+1/5²+...+1/(2n-1)²
<1+1/(2×4)+1/(4×6)+...+1/[(2n-2)2n]
=1+(1/2)[1/2-1/4+1/4-1/6+...+1/(2n-2)-1/(2n)]
=5/4 -1/(4n)
1/(4n)>0 5/4 -1/(4n)<5/4
Tn<5/4
综上，得Tn<5/4

Answer 2

an=sn-s(n-1)=[√sn+√s(n-1)]*[√sn-√s(n-1)]=2[√sn+√s(n-1)]
[√sn+√s(n-1)]=2
{√sn}等差数列，公差为：2；首项为：1
√sn=1+(n-1)*2=2n-1
sn=(2n-1)^2
an=sn-s(n-1)=(2n-1)^2-(2n-3)^2=8n-8 ( n>=2)
an=1 (n=1)
sn=1 (n=1)
sn=[(8n+8)(n-1)]/2 ( n>=2)
1/sn=1 (n=1)
1/sn=2/[(8n+8)(n-1)]=1/4(n+1)(n-1)<1/4n(n-1)=1/4[1/(n-1)-1/n ] ( n>=2)
tn<=1+1/4[1-1/n]<5/4-1/4n<5/4

Answer 3

由已知。左右都乘上(根号Sn)-(根号Sn-1)..然后就可以得到：根号Sn-根号Sn-1 =2。然后一直推到 根号S3-根号S2=2，根号S2-根号S1=2.一直加起来，左边加左边，右边加右边。。得到根号Sn-根号S1（也就a1）=2..可以解除an。Sn也就出来了。至于后面的Tn，自己弄着玩吧，

Answer 4