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设A=I-ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明(1)A2=A的充分条件是ξTξ=
设A=I-ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明(1)A2=A的充分条件是ξTξ=1.(2)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
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推荐答案 推荐于2017-12-16
证明:
(1)
由A=I-ξξ
T
得:
A
2
=(I-ξξ
T
)(I-ξξ
T
)=I-2ξξ
T
+ξ(ξ
T
ξ)ξ
T
=I-(2-ξ
T
ξ)ξξ
T
,
从而:A
2
=A?I-(2-ξ
T
ξ)ξξ
T
=I-ξξ
T
?(ξ
T
ξ-1)ξξ
T
=0,
而ξ是n维非零列向量,因此:ξξ
T
≠0,
故:A
2
=A?(ξ
T
ξ-1)ξξ
T
=0?ξ
T
ξ-1=0?ξ
T
ξ=1.
(2)
由A=I-ξξ
T
两边同时右乘ξ,得:Aξ=ξ-ξξ
T
ξ,
∴当ξ
T
ξ=1时,Aξ=ξ-ξ=0,
而ξ≠0,这说明Ax=0有非零解,
于是由克莱姆法则知:|A|=0,
故A不可逆.
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