△ ABC 中，己知∠ A ＞∠ B ＞∠ C ，且∠ A ＝2∠ C ， b ＝4， a ＋ c ＝8，求 a ， c 的长

Question

△ ABC 中，己知∠ A ＞∠ B ＞∠ C ，且∠ A ＝2∠ C ， b ＝4， a ＋ c ＝8，求 a ， c 的长．

Answer 1

a ＝ ， c ＝ .

本试题考查了解三角形的运用。 解：由正弦定理 ＝  及∠ A ＝2∠ C ，得 ＝ ，即 ＝ ， ∴cos C ＝ ．                                       …………3分 由余弦定理cos C ＝ ， ∵ b ＝4， a ＋ c ＝8， ∴ a ＋ c ＝2 b ， ∴cos C ＝ ＝ ＝ ，   ∴ ＝ ，                                     …………9分 整理得(2 a －3 c )( a － c )＝0， ∵ a ≠ c ，∴2 a ＝3 c ． 又∵ a ＋ c ＝8， ∴ a ＝ ， c ＝ ．                                        …………15分 另解：由正弦定理 ＝  及∠ A ＝2∠ C ，得 ＝ ，即 ＝ ， ∴cos C ＝ ．                                       …………3分 又因                               …………9分 即 解之得 或 时要舍去， 此时 与∠ A ＝2∠ C 矛盾， 由此可得 a ＝ ， c ＝ ．                                        …………15分