因式分解的相关知识(详细)

Question

如题所述

Answer 1

因式分解

因式分解（分解因式）Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。

含义

因式分解的定义和主要方法常规因式分解主要公式　定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法为相反变形。
同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤。

方法

因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。
注意四原则：
1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
2．最后结果只有小括号
3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x(2+3y+4z)
归纳方法：
1．提公因式法。
2．运用公式法。
3．拼凑法。
4．组合分解法。
5．十字相乘法。
6．双十字相乘法。
7．配方法。
8．拆项补项法。
9．换元法。
10．长除法。
11．求根法。
12．图象法。
13．主元法。
14．待定系数法。
15．特殊值法。
16．因式定理法。

分解步骤

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”

四个注意

因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。

例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。
解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的错误，因为4x2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。

考试时应注意：
在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。

分解公式

平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

立方和（差）
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

十字相乘公式
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

Answer 2

因式分解，也叫分解因式，
是把多项式，变成一个个式子相乘的形式；
如果看示意图，就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”
“月” 和 “目” 就是 3na、3nb 的两个长方形，写成 3na + 3nb 像 “朋” 就是两项式
如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”，就是 3n ( a + b ) 的一个长方形
把 3na + 3nb 的两项式变成 3n ( a + b ) 乘积的式子就是因式分解

分解因式最简单的方法，就是提公因式
不过要注意，公因式不仅是系数、字母，还会是一个式子，例如
(a+b)(3m+2n) + (2m+3n)(a+b)，公因式是 (a+b)
= (a+b)( 3m + 2n + 2m + 3n )
= (a + b)( 5m + 5n ) 这样再提系数 5
= 5( a + b )( m + n )

公式法，
就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒过来用
a" - b" = (a - b)(a + b)
a" + 2ab + b" = (a + b)"
a" - 2ab + b" = (a - b)"
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b")
a"' - b"' = (a - b)(a" + ab + b")

分组分解法，十字相乘法，最好还是结合起来
先把一次项一分为二，
这样分开两组提公因式，做起来就轻松多了；

就连完全平方的式子，这样做起来也会觉得更加可靠。
例如
x" + 10x + 25
= x" + 5x + 5x + 25
= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )
= ( x + 5 )"
还有
x" - 10x + 25
= x" - 5x - 5x + 25
= x( x - 5 ) - 5( x - 5 )
= ( x - 5 )"

再看看一般多项式
系数、因数，先不管一次项，就看常数项：
如果常数项是正数，
一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两项的和；

x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
还有，负负得正
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )

如果常数项是负数，
一次项系数就是分开两项的相差数；
x" + 10x - 24

= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
还有
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x + 2 )( x - 12 )

看到了吧，一次项和常数项，绝对值都是 10x 和 24，
分解因式却有 4 种结果，会不会看得晕头转向呢？
怎么办？只要这样一步一步地写出来，就肯定不会出错了。
还有 5x 和 6 ，15x 和 54 ，20x 和 96 …… 都有这样的 4 种结果，
使用这个分解因式的方法，你自己也试一试吧。

分解因式的这个方法
关键是常数项的正负决定了一次项系数怎样分开两项，
接下来一步一步，分别提取公因式就轻松多了；
只要熟悉这个方法，就连二次项系数不是 1 也同样方便，
例如
4x" - 31x - 45
对着 31，我们恐怕不知道怎样分开两项
可是看到 -45，我们都会想到 31 = 36 - 5 ，那么
= 4x" - 36x + 5x - 45
= 4x( x - 9 ) + 5( x - 9 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )
或者
= 4x" + 5x - 36x - 45
= x( 4x + 5 ) - 9( 4x + 5 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )

如果说分解因式的作用，
就也是一元二次方程（高次方程）的一个解法。
方程一般式的结果等于0，
如果经过因式分解，把一般式变成因式相乘的形式，
那么任意一个因式等于0的结果，就都是方程的结果之一。

注意，分解因式，必须尽可能地，把指数分解得越小越好
能够继续分解，就要继续分解，所以还要尽可能地为继续分解创造条件
例如我的一个经验教训
a^6 - b^6
我做成
= (a")"' - (b")"'
= (a" - b")[ (a")" + a"b" + (b")" ]
= (a - b)(a + b)(a^4 + a"b" + b^4)
这样还有四次项就不对
应该
= (a"')" - (b"')"
= ( a"' - b"' )( a"' + b"' )
= (a - b)(a" + ab + b")(a" - ab + b")(a + b)

因式中只剩二次项，才是正确的
积极开动脑筋，祝你成功，学习进步！