若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a mx)=f(b-mx),,则函数y=f(x)的图象关于什么对称？如何又来的？

Question

如题所述

Answer 1

若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx),,则函数y=f(x)的图象关于什么对称？如何又来的？
∵函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx)
令t=mx==>x=t/m
∴函数f(t/m) 对定义域中任意t均有f(a+t)=f(b-t)成立
一般地说，对于任何函数y=f(x)，若满足f(a+x)-f(b-x)=0，则，此函数关于直线x=(a+x)/2+(b-x)/2=(a+b)/2对称
则函数f(t/m)关于直线t=(a+t)/2+(b-t)/2=(a+b)/2对称
∴f(x)关于直线mx=(a+b)/2==>x=(a+b)/(2m)对称
例函数f(x)=sin3x，满足f(π/2+3x)=f(π/2-3x)
令t=3x==>x=t/3
则函数f(t/3)关于直线t=(π/2+t)/2+(π/2-t)/2=π/2对称
∴f(x)=sin3x关于直线3x=π/2==>x=π/6对称

Answer 2

题目有误，应为“若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx)（m≠0),则函数y=f(x)的图象关于什么对称？如何推导的？”
解答：f(x)关于直线x=(a+b)/2对称，可利用结论“若f(x)=f(2a-x)，则f(x)关于直线x=a对称”。
令a+mx=t,，可推得f(t)=f(a+b-x)，利用上述结论即得。