matlab 离散小波变换的阶数与尺度的关系？？？

Question

本人有个问题很困惑，在看连续小波变换时候，维持一个尺度，改变b,然后增加尺度a。离散的时候，往往把a=2^j,请问j是阶数的意思吗？？？？如果是matlab中三层分解，那么CD1，CA1的尺度是不是就是2，CD2和CA2的尺度为4，CD3和CA3的尺度为8？？？？？这样随着尺度的增加，可以认为低频分的越来越小，越接近真实信号。

可是，我在看一本书的时候，它如此说道：一维离散小波变换主要用在信号处理中，实现算法为mallat算法，即对 较大尺度的信号 进行小波变换，再选取其中的低频部分在原尺度的1/2尺度上再进行小波变换。

然后我就搞不清楚了 那本书中的尺度 是什么意思？？？难道离散的尺度是CD1，CA1为8，CD3，CA3为2吗？？？？ 我彻底凌乱了 跪求答案？？、

Answer 1

呵呵！问题有意思。第一段的理解按照matlab的设定是完全正确的，j在DWT中就是阶次（或叫层次），DWT1，2，3.。。。阶（层）对应CWT的尺度2，4，8.。。。。这样随着尺度的增加，可以认为低频分的越来越低频，越接近真实信号的总体趋势。

第二段，中的尺度真的就是通常生活中尺度的意思，就是大小，例如汽车就是比自行车大，就这么个意思。这种理解更贴近于CWT对大小的理解，信号的波长长，频率低，就是尺度大的意思。在DWT中都为了避免这问题产生歧义不使用尺度而直接用阶次一词，这本书的作者可能不够专业，这类人通常将CWT的尺度用于DWT的解释中，是很让人抓狂的，只能说明不太严谨，考虑不够周全。
“较大尺度的信号 进行小波变换，再选取其中的低频部分在原尺度的1/2尺度上再进行小波变换。”这话相当外行，从表达到用词都不严谨，很多专有的小波概念根本不懂，易产生歧义。按他的意思用matlab中DWT的设定可以改为，较低频（长波长，大尺度）的信号进行DWT，得到a1和d1，再选取a1d1中的低频部分a1在原小波函数缩短1/2后再进行DWT，得到频率更高的a2和d2（与matlab的设定相反，后面会有说明）.这样就避免了尺度一词对理解造成的困扰。

你可以看到这里使用的是小波函数的缩短，而不是伸长，这恰好与matlab的设定相反。所以造成了DWT阶次与CWT的尺度对应关系与matlab的设定不同。在DWT阶次与CWT尺度或频率的设定中一般是有两种的，一种是以matlab使用的定义，它用小波函数的伸长做DWT，DWT1，2，3.。。。阶对应CWT的尺度2，4，8.。。。，先得到的a1d1频率与其它ad相比最高，越向下分，频率越低。另一种是出于数学公式推导的方便，设定与之恰好相反，用小波函数的缩短做DWT，a=1/2^j,例如DWT1，2，3。。。.阶对应CWT的尺度1/2,1/4,1/8。。。先得到的a1d1频率最低，越向下分，频率越高。
在非matlab的小波书籍中，尤其是数学推导较多的书中，为方便泛函空间的公式推导通常使用后一种的设定，这就造成对dwt阶次和频率变化理解的困扰，可笑的是很多文章连抄都不会抄，公式的推导用后一种，可描述解释却用前一种matlab的设定，简直就是糟蹋行当，悲哉！