已知fx是偶函数，且fx在【0，正无穷大）上是增函数，如果f（ax+1）小于等于f（x＋2）

Question

已知fx是偶函数，且fx在【0，正无穷大）上是增函数，如果f（ax+1）小于等于f（x+2）(a的绝对值大于等于1)， 在x属于【1/2，1】上恒成立，求实数a的取值范围.

求详细过程。

Answer 1

答：
f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)
x>0，f(x)是增函数
x<0，f(x)是减函数
f(ax+1)<=f(x+2)在[1/2，1]上恒成立
则有：
|ax+1|<=|x+2|在[1/2,1]上恒成立
两边平方：
(a^2)x^2+2ax+1<=x^2+2x+1
(a^2-1)x^2+2(a-1)x<=0
因为：1/2<=x<=1
所以：(a^2-1)x+2(a-1)<=0
因为：|a|>=1
所以：0<=(a^2-1)x<=2(1-a)
当a=1或者a=-1时恒成立
当a^2>1时，1-a>0，a<-1：
(a-1)(a+1)x<=2(1-a)
-(a+1)x<=2
a+1>=-2/x
当x=1时：a+1>=-2，a>=-3
综上所述，-3<=a<=-1或者a=1

Answer 2

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