三种形式分别是分式、复变函数论、三角形。
1、分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)。
2、复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。
3、三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则：d＾2=R＾2-2Rr 。
三种形式可与理解为欧拉公式在不同的学科中有着不同的含义。
用数学归纳法证明欧拉公式：
一、当R= 2时，由说明1,这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R= 2，V= 2，E= 2；于是R+ V- E= 2,欧拉定理成立。
二、设R= m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R= m+ 1时欧拉定理也成立。
由说明2，我们在R= m+ 1的地图上任选一个区域X ,则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后，地图上只有m个区域了。
在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点，则该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点，该顶点两边的两条边界便成为一条边界。
于是，在去掉X和Y之间的唯一一条边界时只有三种情况：
1、减少一个区域和一条边界。
2、减少一个区域、一个顶点和两条边界。
3、减少一个区域、两个顶点和三条边界。
即在去掉X和Y之间的边界时，不论何种情况都必定有“减少的区域数＋减少的顶点数＝减少的边界数”我们将上述过程反过来（即将X和Y之间去掉的边界又照原样画上），就又成为R= m+ 1的地图了，在这一过程中必然是“增加的区域数＋增加的顶点数＝增加的边界数”。
因此，若R= m (m≥2)时欧拉定理成立，则R= m+ 1时欧拉定理也成立。
由一、和二、可知，对于任何正整数R≥2,欧拉定理成立。
以上内容参考 百度百科—欧拉公式
欧拉公式是数学中一组非常著名的公式，它有三种主要形式，分别涉及三个基本数学常数：自然对数的底数 e、虚数单位 i 和圆周率 π。
欧拉公式的第一种形式：
e^(iπ) + 1 = 0
这是欧拉公式最著名、最简洁的形式，它将三个基本数学常数 e、i 和 π 结合在一起，等式右边的结果为零。
欧拉公式的第二种形式：
e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
这个形式展示了复数的指数形式与三角函数（余弦和正弦）之间的关系。其中，x 是任意实数，e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，cos(x) 是 x 的余弦，sin(x) 是 x 的正弦。
欧拉公式的第三种形式：
e^(iθ) = cos(θ) + i*sin(θ)
这个形式是第二种形式的一般形式，其中 θ 是任意实数，e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，cos(θ) 是 θ 的余弦，sin(θ) 是 θ 的正弦。
这三种形式都是欧拉公式的重要表达方式，它们在数学和科学中有广泛的应用。这些公式展示了复数、三角函数和指数函数之间的深刻联系，是数学中的重要基石之一。