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用拉格朗日中值定理证明不等式e的x次方>1+x(x不等于0)?
用拉格朗日中值定理证明不等式e的x次方>1+x(x不等于0)
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推荐答案 2019-11-17
设f(t)=e^t,当x>0时,在[0,x]上f(t)满足拉格朗日中值定理条件
於是存在ξ∈(0,x),使f'(ξ)*(x-0)=f(x)-f(0)
即e^ξ*x=e^x-1
又因为ξ>0,所以e^ξ>e^0=1
所以e^x-1=e^ξ*x>x,即e^x>1+x
当x<0时同理可证
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当
x不等于0
时,
不等式e的x次方
与
1+x
的大小关系为?
答:
方法一(求导法)令f(x)=e^x -x -1 f'(x)=e^x -1 ∵x>0,∴e^x>e^0=1,∴f'(x)>0 ∴函数f(x)为增函数又lim(x→0)f(x)=0 ∴f(x)>0 方法二(利用
拉格朗日中值定理
)令f(t)=e^t,f'(t)=e^t f(x)-f(0)=e^x -1=f'(θ
x)
x(0<θ<1) 即e^x -1=e^(...
用拉格朗日中值定理证明e
*x>
1+x
,
(x
>
0)
答:
原题是:
用拉格朗日中值定理证明e
^x>
1+x
,(x>0)证明:设f(t)=e^t 则f'(t)=e^t 对任意x>0 f(t)在[0,x]上连续,在(0,x)上可导。由拉格朗日中值定理得 存在a∈(0,x),使 (f(x)-f(0))/(x-0)=f'(a)而(f(x)-f(0))/(x-0)=(e^x-1)/x,f'(a)=e^a>0 ...
用拉格朗日中值定理证明
e的X
方>=
1+X
答:
令 f(x) = e^x,x = 0 时, 显然有 e^x =
1+x
.任给 x > 0,f(x) - f(0) = f'(t)(x-0) --- 0 < t< x = e^t * x > x => e^x = f(x) > x + f(0) =
1 + x;
任给 x < 0,f(0) - f(x) = f'(t)(0-x) --- x < t< 0 ...
当x大于1时,运用
拉格朗日
定律
证明e的x次方
大于e*x
答:
根据
拉格朗日中值定理
,在(1,x)上,有f
(x)
-f(1)=f '(t
)(x
-1),其中1<t<x,所以,e^x-e=e^t(x-1),即,e^x=e^t(x-
1)+e
=
ex+
(e^t-
e)
x-e^t+e =ex+(e^t-e)(x-1)>
ex (
因为t>1,x>1,所以后一项的两个因数均为正
)证明
过程大致就是这样了,欢迎追问。
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