三角函数求极值！！高手呢！！

Question

y=(sinxcosx)/(1+cosx+sinx)求y（max）

Answer 1

设sinx+cosx=t属于[-√2，√2] => t^2=1+2sinxcosx =〉 sinxcosx=(t^2-1)/2
f(x）=（t^2-1）/2(1+t)=(t-1)/2属于[-(√2+1)/2,(√2-1)/2]
另外，分母不为零，所以1+sinx+cosxb不=0 ，既t≠-1
综上，值域属于[-(√2+1)/2，-1）∪（-1,(√2-1)/2] 设tanx/2=t（后面写起来方便）
原式=[2t/(1+t^2)]*[(1-t^2)/(1+t^2)]/[1+2t/(1+t^2)+(1-t^2)/(1+t^2)/
=2t(1-t^2)/(2t+2) 约分，注意约掉的2*（1+t）≠0，即t≠-1
=(-t^2+t)/(t^2+1) (t≠-1)
=(t+1)/(t^2+1)-1 (t≠-1)
=1/[(t+1)+2/(t+1)-2]-1
分母可以把t+1看成一个变量y，y∈（-∞，0）∪（0，+∞），是个NIKE函数（或钩函数）
求出其范围2（-∞，-2-2√2]∪[-2+2√2，+∞），再求倒数范围，最后-1
答案是 值域为[-(1+√2)/2,-1)∪(-1,(√2-1)/2]

Answer 2

Answer 3

令t=sinx+cosx=根号2sin(x+π/4),所以t∈[-根号2，根号2]则 sinxcosx=(t^2-1)/2y=(sinxcosx)/(1+cosx+sinx) =[(t^2-1)/2]/(1+t) =(t+1)(t-1)/2(t+1) =(t-1)/2t∈[-根号2，根号2]所以y∈[(-根号2-1)/2，(根号2-1)/2]

Answer 4

换元法，令sinx+cosx=t,则t^2=1+2sinxcosx sinxcosx=(t^2-1)/2后面就正常做，不过t有范围的，合一变形以后就知道是[-根号2，根号2]下面不要告诉我你不会做。。