实数
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[shí shù]
包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数。数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。(任何实数都可在数轴上表示。)
目录
1基本概念
2分类
3历史发展
4相关定义
5相关性质
基本运算
四则运算封闭性
有序性
传递性
阿基米德性
稠密性
唯一性
完备性
高级性质
拓扑性质
6扩展与一般化
1基本概念
实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正实数,负实数和零三类。实数集合通常用字母 R 表示。而R^n表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位,n为正整数,包括整数)。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示。
1)相反数(只有符号不同的两个数,它们的和为零,我们就说其中一个是另一个的相反数) 实数a的相反数是-a,a和-a在数轴上到原点0的距离相等。)
2)绝对值(在数轴上另一个数与a到原点0的距离分别相等) 实数a的绝对值是:|a|
①a为正数时,|a|=a(不变)
②a为0时, |a|=0
③a为负数时,|a|=-a(为a的相反数)
(任何数的绝对值都大于或等于0,因为距离没有负的。)
3)倒数(两个实数的乘积是1,则这两个数互为倒数) 实数a的倒数是:1/a (a≠0)
4)数轴(任何实数都可在数轴上表示。)
定义:如果画一条直线,规定向右的方向为直线的正方向,在其上取原点O及单位长度OE,它就成为数轴线,或称数轴。
(1)数轴的三要素:原点、正方向和单位长度。
(2)数轴上的点与实数一一对应。[1]
5)平方根(某个自乘结果等于的实数,表示为〔√ ̄〕,其中属于非负实数的平方根称算术平方根。一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,就是0本身;负数没有平方根。)
6)立方根(如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a(x^3=a),即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根(cube root),也叫做三次方根)
2分类
按性质分类是:正数、负数、0;
按定义分类是:有理数、无理数
实数的分类 可以分为整数,分数
整数又可分为正整数,0,负整数
分数又可分为正分数,负分数 2)可以分为正数,0,负数
正数又可分为正整数,正分数
负数又可分为负整数,负分数
3历史发展
埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右,以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发现了负数,据说中国也曾发现负数,但稍晚于印度。
实数相关资料(16张)
直到17世纪,实数才在欧洲被广泛接受。18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括无限循环小数、有限小数、整数。数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
到了19世纪70年代,著名的德国数学家外尔斯特拉斯(1815-1897 )、康托尔(1845-1918 )和法国的柯西(1789-1857 )及戴德金(1831-1916) 等都对实数理论进行了研究,获得了几种形异而实同的实数理论,其中以戴德金分割法 1872 ;康托尔的有理数「基本序列」法 1872 为最有代表性。上述两法与外尔斯特拉斯的实数理论合称实数理论的三大派。
4相关定义
从有理数构造实数
实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种,其他方法请详见实数的构造。
公理的方法
设 R 是所有实数的集合,则:
集合 R 是一个域: 可以作加、减、乘、除运算,且有如交换律,结合律等常见性质。
域 R 是个有序域,即存在全序关系≥ ,对所有实数 x, y 和 z:
若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。
集合 R 满足完备性,即任意 R 的有非空子集S ( S∈R,S≠Φ),若 S 在 R 内有上界,那么 S 在 R 内有上确界。
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界,如 1.5;但是不存在实数上界(因为
不是有理数)。
实数通过上述性质唯一确定。更准确的说,给定任意两个有序域 R1 和 R2,存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构,即代数学上两者可看作是相同的。
5相关性质
基本运算
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等,对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数。
图册(4张)
四则运算封闭性
实数集R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。
有序性
实数集是有序的,即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一:a<b,a=b,a>b.
传递性
实数大小具有传递性,即若a>b,b>c,则有a>c.
阿基米德性
实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何a,b ∈R,若b>a>0,则存在正整数n,使得na>b.
稠密性
实数集R具有稠密性,即两个不相等的实数之间必有另一个实数,既有有理数,也有无理数.
唯一性
如果在一条直线(通常为水平直线)上确定O作为原点,指定一个方向为正方向(通常把指向右的方向规定为正方向),并规定一个单位长度,则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点;反之,数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。
完备性
作为度量空间或一致空间,实数集合是个完备空间,它有以下性质:
一.所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
有理数集合就不是完备空间。例如,(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列,但没有有理数极限。实际上,它有个实数极限 √2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。
极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。
二.“完备的有序域”
实数集合通常被描述为“完备的有序域”,这可以几种解释。
首先,有序域可以是完备格。然而,很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素(对任意元素 z,z + 1 将更大)。所以,这里的“完备”不是完备格的意思。
另外,有序域满足戴德金完备性,这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法,即从(有理数)有序域出发,通过标准的方法建立戴德金完备性。
这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而,有序群(域是种特殊的群)可以定义一致空间,而一致空间又有完备空间的
概念。上述完备性中所述的只是一个特例。(这里采用一致空间中的完备性概念,而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性,这是由于度量空间的定义依赖于实数
的性质。)当然,R 并不是唯一的一致完备的有序域,但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上,“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明,任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的(当然反之亦然)。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法,即从(有理数)阿基米德域出发,通过标准的方法建立一致完备性。
“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的,他还想表达一些不同于上述的意思。他认为,实数构成了最大的阿基米德域,即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指,在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法,即从某个包含所有(超实数)有序域的纯类出发,从其子域中找出最大的阿基米德域。
高级性质
实数集是不可数的,也就是说,实数的个数严格多于自然数的个数(尽管两者都是无穷大)。这一点,可以通过康托尔对角线方法证明。实际上,实数集的势为 2ω(请参见连续统的势),即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数,绝大多数实数是超越数。实数集的子集中,不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合,这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确,这是因为它和集合论的公理不相关。
所有非负实数的平方根属于 R,但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且,所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
实数集拥有一个规范的测度,即勒贝格测度。
实数集的上确界公理用到了实数集的子集,这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集:1. Löwenheim-Skolem定理说明,存在一个实数集的可数稠密子集,它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题;2. 超实数的集合远远大于 R,但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容,在非标准模型中证明一阶逻辑命题(可能比在 R 中证明要简单一些),从而确定这些命题在 R 中也成立。
拓扑性质
实数集构成一个度量空间:x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集,它也具有序拓扑。这里,从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间(所以也是连通空间)、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定,例如,无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览:
令 a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。
R 是可分空间。
Q 在 R 中处处稠密。
R的开集是开区间的联集。
R的紧子集是有界闭集。特别是:所有含端点的有限线段都是紧子集。
每个R中的有界序列都有收敛子序列。
R是连通且单连通的。
R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。
6扩展与一般化
实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化:
最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是,复数集不是一个有序域。
实数集扩展的有序域是超实数的集合,包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。
有时候,形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集,构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间,而不是一个域,但它保留了许多实数的性质。
正因如此,毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念,这里的数是指自然数(1 , 2 , 3 ...),而由自然数的比就得到所有正有理数,而有理数集存在“缝隙”这一事实,对当时很多数学家来说可谓极大的打击;见第一次数学危机。
从古希腊一直到十七世纪,数学家们才慢慢接受无理数的存在,并把它和有理数平等地看作数;后来有虚数概念的引入,为加以区别而称作“实数”,意即“实在的数”。在当时,尽管虚数已经出现并广为使用,实数的严格定义却仍然是个难题,以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后,才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。[2]
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