（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积．
例如：4x2-9=（2x）2-32=（2x+3）（2x-3）．
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式．
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
例如：4x2-12xy+9y2=（2x）2-2·2x·3y+（3y）2=（2x-3y）2．
探究交流
下列变形是否正确？为什么？
（1）x2-3y2=（x+3y）（x-3y）；
（2）4x2-6xy+9y2=（2x-3y）2；
（3）x2-2x-1=（x-1）2．
点拨 （1）不正确，目前在有理数范围内不能再分解．
（2）不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解．
（3）不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解．
知识点4 分组分解法
（1）形如：am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）
=a（m+n）+b（m+n）
=（m+n）（a+b）
（2）形如：x2-y2+2x+1=（x2+2x+1）-y2
=（x+1）2-y2
=（x+y+1）（x-y+1）．
把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法．
知识规律小结 （1）分组分解法一般分组方式不惟一．
例如：将am+an+bm+bn因式分解，方法有两种：
方法1：am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）．
方法2：am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（m+n）（a+b）．
（2）分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式．
例如：am+an+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式．
分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：
（1）按字母分组；
（2）按次数分组；
（3）按系数分组．
例如：把下列各式因式分解．
（1） am+bm+an+bn；
（2）x2-y2+x+y；
（3）2ax-5by+2ay-5bx．
知识点5 关于x2+（p+q）x+pq型二次三项式的因式分解
x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
事实上：x2+（p+q）x+pq
=x2+px+qx+pq
=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）．
∴x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式．
例如：把x2+3x+2分解因式．
（分析）因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
典例剖析 师生互动
基础知识应用题
本节基础知识的应用主要包括：（1）掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；（2）会分解关于x2+（p+q）x+pq型的二次三项式．
例1 用提公因式法将下列各式因式分解．
（1）ax-ay； （2）6xyz-3xz2； （3）-x3z+x4y；
（4）36aby-12abx+6ab； （5）3x（a-b）+2y（b-a）；
（6）x（m-x）（m-y）-m（x-m）（y-m）．
（分析） （1）～（4）题直接提取公因式分解即可，（5）题和（6）题首先要适当的变形，其中（5）题把b-a化成-（a-b）的，（6）题把（x-m）（y-m）化成（m-x）（m-y），然后再提取公因式．
解：（1）ax-ay=a（x-y）
（2）6xyz-3xz2=3xz（2y-z）．
（3）-x3z+x4y=x3（-z+xy）．
（4）36aby-12abx+6ab=6ab（6y-2x+1）．
（5）3x（a-b）+2y（b-a）=3x（a-b）-2y（a-b）=（a-b）（3x-2y）．
（6）x（m-x）（m-y）-m（x-m）（y-m）
=x（m-x）（m-y）-m（m-x）（m-y）
=（m-x）（m-y）（x-m）
=-（m-x）2（m-y）．
小结 运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：
（1）因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解．
如：（7m-8n）（x+y）-（3m-2n）（x+y）
=（x+y）[（7m-8n）-（3m-2n）]
=（x+y）（4m-6n）．
=2（x+y）（2m-3n）．
（2）如果出现像（5）（6）小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到（a-b）n=（b-a）n（n为偶数）．
例如：分解因式a（x-y）2+b（y-x）3+c（y-x）2．
本题既可以把（x-y）统一成（y-x），也可以把（y-x）统一成（x-y）,但比较而言把（x-y）化成（y-x）比较简便，因为（x-y）2=（y-x）2．
a（x-y）2+b（y-x）3+c（y-x）2
=a（y-x）2+b（y-x）3+c（y-x）2
=（y-x）2[a+b（y-x）+c]
=（y-x）2（a+by-bx+c）．
（3）因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式．
例如：（7a-8b）（a-2b）+（a-8b）（a-2b）
=（a-2b）[（7a-8b）+（a-8b）]
=（a-2b）（8a-16b）
=8（a-2b）（a-2b）
=8（a-2b）2．
学生做一做 把下列各式分解因式．
（1）am+an； （2）（xy+ay-by）；
（3）（2a+b）（2a-3b）+（2a+5b）（2a+b）； （4）3x（a-b）-2y（b-a）；
（5）4p（1-q）3+2（q-1）2； （6）ab2（x-y）m+a2b（x-y）m+1．
老师评一评 （1）原式=a（m+n） （2）原式=y（x+a-b）；
（3）原式=2（2a+b）2； （4）原式=（a-b）（3x+2y）；
（5）原式=（1-q）2（4p-4pq+2）； （6）原式=ab（x-y）m（b+ax-ay）．
例2 把下列各式分解因式．
（1）m2+2m+1； （2）9x2-12x+4；
（3）1-10x+25x2； （4）（m+n）2-6（m+n）+9．
（分析）本题旨在考查用完全平方公式分解因式．
解：（1）m2+2m+1=（m+1）2．
（2）9x2-12x+4=（3x-2）2．
（3）1-10x+25x2=（1-5x）2．
（4）（m+n）2-6（m+n）+9=（m+n-3）2．
学生做一做 把下列各式分解因式．
（1）（x2+4）2-2（x2+4）+1； （2）（x+y）2-4（x+y-1）．
老师评一评 （1）原式=（x2+3）2； （2）原式=（x+y-2）2．
例3 把下列各式分解因式．
（1）x2+7x+10； （2）x2-2x-8；
（3）y2-7y+10； （4）x2+7x-18．
（分析） 二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1，常数项10=2×5，一次项系数7=2+5，所以这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子，可以用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行因式分解．
解：（1）x2+7x+10=（x+2）（x+5）．
（2）x2-2x-8=（x-4）（x+2）．
（3）y2-7y+10=（y-2）（y-5）．
（4）x2+7x-18=（x+9）（x-2）．
小结 对于x2+（p+q）x+pq型二次三项式的因式分解，①pq＞0，则p,q同号，若p+q＞0，则p＞0，q＞0；若q+p＜0，则p＜0，q＜0；②若pq＜0，则p,q异号，若p+q＞0，则绝对值大的为正数，若p+q＜0,则绝对值大的为负数．
学生做一做 把下列各式分解因式．
（1）m2-7m+12； （2）x2y2-3xy-10；
（3）（m-n）2-（m-n）-12； （4）x2-xy-2y2．
老师评一评 （1）原式=（m-3）（m-4）； （2）原式=（xy-5）（xy+2）；
（3）原式=（m-n-4）（m-n+3）； （4）原式=（x-2y）（x+y）．
综合应用题
本节知识的综合应用主要包括：（1）用分组分解法分解因式；（2）与方程组的综合应用；（3）与几何知识的综合应用；（4）几种因式分解方法的综合应用．
例4 分解因式．
（1）x3-2x2+x； （2）（a+b）2-4a2； （3）x4-81x2y2；
（4）x2（x-y）+y2（y-x）； （5）（a+b+c）2-（a-b-c）2．
（分析）本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式．
解：（1）x3-2x2+x=x（x2-2x+1）=x（x-1）2．
（2）（a+b）2-4a2=（a+b+2a）（a+b-2a）=（3a+b）（b-a）．
（3）x4-81x2y2=x2（x2-81y2）=x2（x+9y）（x-9y）．
（4）x2（x-y）+y2（y-x）=x2（x-y）-y2（x-y）
=（x-y）（x2-y2）=（x-y）（x+y）（x-y）
=（x+y）（x-y）2．
（5）（ a+b+c）2-（a-b-c）2
=[（a+b+c）（a-b-c）][（a+b+c）-（a-b-c）]
=2a·（2b+2c）
=4a（b+c）．
例5 利用分组分解法把下列各式分解因式．
（1）a2-b2+a-b； （2）a2+b2-2ab-1；
（3）（ax+by）2+（ay-bx）2； （4）a2-2ab+b2-c2-2c-1．
（分析） 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，其中（1）题分组后存在公因式，（3）题需去括号后重新分组，（2）和（4）题分组后能运用公式．
解：（1）a2-b2+a-b=（a2-b2）+（a-b）
=（a+b）（a-b）+（a-b）=（a-b）（a+b+1）．
（2）a2+b2-2ab-1=（a2-2ab+b2）-1
=（a-b）2-1=（a-b+1）（a-b-1）．
（3）（ax+by）2+（ay-bx）2
=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2
=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2
=（a2x2+a2y2）+（b2y2+b2x2）
=a2（x2+y2）+b2（x2+y2）
=（a2+b2）（x2+y2）．
（4）a2-2ab+b2-c2-2c-1
=（a2-2ab+b2）-（c2+2c+1）
=（a-b）2-（c+1）2
=[（a-b）+（c+1）][（a-b）-（c+1）]
=（a-b+c+1）（a-b-c-1）．
小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，通常分下列几种情况考虑：
（1）如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法；
（2）如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用x2+（p+q）x+pq型式子或完全平方公式分解因式；
（3）如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式．
最后，直到每一个因式都不能再分解为止．
例6 解方程组
（分析）本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的．但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为（x+2y）（x-2y）=5，再把x-2y=1代入方程（x+2y）（x-2y）=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出．
解：由①得（x+2y）（x-2y）=5，③
把②代入③中得x+2y=5，④
∴原方程组化为
②+④得2x=6，∴x=3．
②-④得4y=4，∴y=1．
∴原方程组的解为
学生做一做 解方程组
老师评一评
例7 若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0，试判断这个三角形的形状．
解：∵a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0．
即（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ac+a2）=0，
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0．
由平方的非负性可知，
∴a=b=c．
∴这个三角形是等边三角形．
例8 利用因式分解计算下列各题．
（1）234×265-234×65； （2）992+198+1．
（分析）主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算．
解：（1）234×265-234×65=234×（265-65）
=234×200=46800．
（2）992+198+1=992+2×99×1+1
=（99+1）2=1002
=10000．
学生做一做 利用因式分解计算下列各题．
（1）7．6×199．9+4．3×199．9-1．9×199．9；
（2）20022-4006×2002+20032；
（3）5652×11-4352×11；
（4）（5）2-（2）2．
老师评一评 （1）原式=1999； （2）原式=1；
（3）原式=143000O； （4）原式=28．
例9 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= ．
（分析） 完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（或差）．
∵9x2+kxy+36y2=（3x）2+kxy+（6y）2，
∴±kxy=2·3x·6y=36xy．
∴k=±36．
学生做一做 若x2+（k+3）x+9是完全平方式，则k= ．
老师评一评 k=3或k=-9．
探索与创新题
例10 计算．
（分析） 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即=a-b（a+b≠0）．
解:原式=+…
+
=（1-2）+（3-4）+（5-6）+…+（2003-2004）
=（-1）×（2004÷2）
=-1002．
例11 若x2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
（分析） 若把x2+kx+20在整数范围内因式分解，由式子x2+（p+q）x+qq考虑把20分解因数，20可分解为：20×1，（-20）×（-1），10×2，（-10）×（-2），5×4，（-5）×（-4），所以k可能取的值有：20+1，（-20）+（-1）,10+2，（-10）+（-2）,5+4，（-5）+（-4）,故k可能取的值有6个，所以正确答案为D项．
例12 分解因式（x4+x2-4）（x4+x2+3）+10．
（分析）把x4+x2作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构．
解：令x4+x2=m，则原式可化为
（m-4）（m+3）+10
=m2-m-12+10
=m2-m-2
=（m-2）（m+1）
=（x4+x2-2）（x4+x2+1）
=（x2+2）（x2-1）（x4+x2+1）
=（x2+2）（x+1）（x-1）（x4+x2+1）．
学生做一做 求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．
老师评一评 设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则
n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2
∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1一定是一个完全平方数．
例13 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值．
（分析）用待定系数法，令x2+7xy+my2-5x+43y-24=（x+ay+b）（x+cy+d）,再对比系数求得m．
解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=（x+ay+b）（x+cy+d）=x2+（a+c）xy+acy2+（b+d）x+（ad+bc）y+bd．
对比多项式的系数得
由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8．
（1）当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥
（2）当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9．⑦
∴m=-18．
学生做一做 已知多项式2x3-x2+m有一个因式（2x+1）,求m的值．
老师评一评 由已知条件可以设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）,则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+
（a+2b）x+b．
对比多项式系数可得
中考展望 点击中考
中考命题总结与展望
本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现，直接以分解因式单独命题的并不多，但它与方程组、二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的，应在学习中引起充分的重视．
中考试题预测
例1 （1）（2004·福州）分解因式：a2-25= ；
（2）（2004·长沙）分解因式：xy2-x2y= ；
（3）（2004·贵阳）分解因式：x2-1= ；
（4）（2004·南京）分解因式：3x2-3= ；
（5）（2004·湖北）分解因式：x2+2xy+y2-4= ；
（6）（2004·陕西）分解因式：x3y2-4x= ；
（7）（2004·广州）分解因式：2x2-2= ；
（8）（2004·桂林）分解因式：a3+2a2+a= ；
（9）（2004·青海）分解因式：x3y-4xy+4y= ；
（10）（2004·哈尔滨）分解因式：a2-2ab+b2-c2= ．
（分析） （1）直接运用平方差公式分解即可．（2）直接运用提取公因式法分解即可．（4）3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1）．（5）解决本题采用分组分解法，x2+2xy+y2-4=（x2+2xy+y2）-4
=（x+y）2-4=（x+y+2）（x+y-2）．（6）先提取公因式，再运用公式法分解因式．x3y2-4x=x（x2y2-4）=
x（xy+2）（xy-2）．
答案：（1）（a+5）（a -5） （2）xy（y-x） （3）（x+1）（x-1） （4）3（x+1）（x-1） （5）（x+y+2）（x+y-2）
（6）x（xy+2）（xy-2） （7）2（x+1）（x-1） （8）a（a+1）2 （9）y（x-2）2 （10）（a-b+c）（a-b-c）
例2 （2004·安徽）下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）
A．x2-y B．x2+2y C．x2+y2 D．x2-xy+y2
答案:B
例3 （2004·青海）将多项式a2-ab+ac-bc分解因式，分组的方法共有 种．
（分析） 一种是：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）；
另一种是：a2-ab-ac-bc=（a2+ac）-（ab+bc），
∴分组方法共有2种．
例4 （2004·湖北）x2-y2-x-y分解因式的结果是 ．
答案：（x+y）（x-y-1）
例5 （2004·呼和浩特）将下列式子因式分解：x-x2-y+y2= ．
答案：（x-y）（1-x-y）
例6 （2004·临汾）解方程组
（分析）运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组．
解：由①得（x-2y）（x+y）=0，③
把②代入③中，得x-2y=0，④
原方程组化为
②-④得3y=2，∴y=．
把y=代入④中，得x=．
∴原方程组的解为
例7 （2004·甘肃）为使x2-7x+b在整数范围内可以分解因式，则b可能取的值为 ．（任写一个）
（分析） 这是一个开放性试题，答案不惟一，依据的是式子x2+（p+q）x+pq．
答案：-8
例8 （2004·宁夏）把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是（ ）
A．（1-x-y）（1+x-y） B．（1+x-y）（1-x+y）
C．（1-x-y）（1-x+y） D．（1+x-y）（1+x+y）
（分析）解决本题采用分组分解法．
1-x2+2xy-y2=1-（x2-2xy+y2）
=1-（x-y）2=（1+x-y）（1-x+y）．
故此，正确答案为B项．
课堂小结 本节归纳
1．本节主要学习了：用提公因式法分解因式；用公式法分解因式；用分组分解法分解因式；形如x2+（p+q）x+pq的二次三项式的因式分解．
2．会运用因式分解解决计算问题．
习题选解 课本习题
课本第200～201页
习题15．5
1．（1）原式=5a2（3a+2）； （2）原式=3bc（4a-c）；
（3）原式=2（p+q）（3p-2q）； （4）原式=（a-3）（m-2）．
2．（1）原式=（1+6b）（1-6b）； （2）原式=3（2x+y）（2x-y）；
（3）原式=（0．7p+12）（0．7p-12）； （4）原式=3（x+y）（x-y）．
3．（1）原式=（1+5t）2； （2）原式=（m-7）2；
（3）原式=（y+）2； （4）原式=（3m+n）2；
（5）原式=（5a-8）2； （6）原式=（a+b+c）2．
4．（1）原式=314； （2）原式=508000．
5．（1）原式=（a+b）2； （2）原式=（p+2）（p-2）；
（3）原式=-y（2x-y）2； （4）原式=3a（x+y）（x-y）．
6．解：当V=IR1+IR2+IR3,R1=19．7，R2=32．4，R3=35．9，I=2．5时，
V=19．7×2．5+32．4×2．5+35．9×2．5
=2．5（19．7+32．4+35．9）
=2．5×88
=220．
7．解：当R=7．8cm，r=1．1cm，π=3．14时，
πR2-4πr2
=3．14×7．82-4×3．14×1．12
=3．14×（7．82-4×1．12）
=3．14×（7．8+2×1．1）（7．8-2×1．1）
=3．14×10×5．6
=175．84（cm2）．
∴阴影部分的面积为175．84cm2．
8．提示：方法有两种，一种是用两条路面积和减去交叉路口正方形的面积；另一种是用一条路的面积再加上被分成两段路的面积和．
如图15－19所示．设横向甬道左边部分长m米，右边部分为（x-m-2）米，则甬道面积为
2x+m·2+2（x-m-2）
=2x+2m+2x-4-2m
=（4x-4）（米2）．
9．提示：∵4y2+my+9是完全平方式，
∴my是2×2y×3=12y．
∴m=±12．
10．解：结论是n（n+2）+1=（n+1）2．
证明过程如下：
∵n（n+2）+1=n2+2n+1=（n+1）2．
∴n（n+2）+1=（n+1）2
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