X的概率函数为 P（X=k）=a(1-a)^k, k =0,1,2... 0<a<1 求X的数学期望

Question

如题所述

Answer 1

令期望S(n)=0×a+1×a(1-a)+2×a(1-a)^2+......+n×a(1-a)^n
S(n)*(1-a)= 0×a(1-a)+1×a(1-a)^2+......+(n-1)×a(1-a)^n+n×a(1-a)^(n+1)
S(n) - S(n)*(1-a) 错位相减

= a(1-a)+ a(1-a)^2+......+ a(1-a)^n-n×a(1-a)^(n+1)
前面是等比数列，n趋近无穷大时，等比数列和为a(1-a)/(1-(1-a))=1-a
n趋近无穷大时，n×a(1-a)^(n+1)趋近0，
因此S(n) - S(n)*(1-a) =1-a 得到 S(n) =(1-a)/a
X期望就是(1-a)/a