在三角形abc中角abc的对边分别为a.b.c,已知cos(B-C)=1-cosA,且bac成等比

Question

在三角形abc中角abc的对边分别为a.b.c,已知cos(B-C)=1-cosA,且bac成等比数列 （1）书SinB*SinC的值 （2）求角A（3）求tanB+tanC的值

Answer 1

1、cos(B-C)=1-cosA→cosBcosC+sinBsinC=1+cos(B+C)→cosBcosC+sinBsinC=1+cosBcosC-sinBsinC→2sinBsinC=1→sinBsinC=1/2。
2、bac成等比数列，根据正弦定理可得sinB、sinA、sinC成等比数列，有sin²A=sinBsinC=1/2，所以sinA=√2/2，故∠A=45°。
3、tanB+tanC=sinB/cosB + sinC/cosC=(sinBcosC+cosBsinC)/cosBcosC=2sin(B+C)/[cos(B+C)+cos(B-C)]=2sinA/(-cosA+1-cosA)=√2)/(1-2x√2/2)=-2-√2

Answer 2

(1),
cos(B-C)=1-cosA,

cosBcosC+sinBsinC=1-cos(π-(B+C))=1+cosBcosC-sinBsinC
∴sinBsinC=1/2
(2),
∵b,a,c成等比,
∴a²=bc
∴sin²A=sinBsinC=1/2
∴sinA=±√2/2(舍-）
∴A=π/4或A=3π/4（舍,A不是最大角）
(3)，
由（1）,（2）得：cosBcosC=1/2-√2/2
∴tanBtanC=sinBsinC/cosBcosC=1/(1-√2)=-1-√2
∵tanB+tanC=tan(B+C)(1-tanBtanC)=tan(π-A)(1-tanBtanC)=-tanA(1-tanBtanC)
∴tanB+tanC=-[1+(1+√2)]=-2-√2

Answer 3

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Answer 5

1、∵cosA=cos[180°-(B+C)]=-cos（B+C)=-(cosBcosC-sinBsinC)
cos（B-C)=cosBcosC+sinBsinC
∴cos(B-C)=1-cosA
那么cosBcosC+sinBsinC=1+cosBcosC-sinBsinC
∴sinBsinC=1/2