第1个回答 2015-01-15
你这个证法我也是醉了，先理一下逻辑关系，原问题要证明对于任意的矩阵A,B,若满足AB=0，则r（A）+r（B）小于等于n，原命题的否定应该是，至少存在一组A，B，AB=0，但r（A）+r（B）大于n，你用反证法正确的应该是假设存在一组AB，AB=0但r（A）+r（B）大于n，再推出矛盾。逻辑关系理清没？
下面我们来看证明，AB=0，用分块矩阵写成A【b1，b2，，，bn】=0（b1，b2。。。为B的n个列），则Abi=0，也即B的n个列是属于A的零空间的，即bi是Ax=0的解x中的某n个，而有线性代数基本定理，A的行空间的维数加A的零空间的维数=n，并且n的行空间的维数等于A的秩，从而A的零空间的维数为n-r（A），所以对于B来说，它的秩一定是小于等于n-r（A）的（解释：要么B中已经包含了A零空间的一组基，秩为n-r（A），要么B只包含了A零空间的几个线性相关的向量，秩小于n-r（A）），从而r（A）+r（B）小于等于r（A）+n-r（A）=n证毕。本回答被网友采纳
下面我们来看证明，AB=0，用分块矩阵写成A【b1，b2，，，bn】=0（b1，b2。。。为B的n个列），则Abi=0，也即B的n个列是属于A的零空间的，即bi是Ax=0的解x中的某n个，而有线性代数基本定理，A的行空间的维数加A的零空间的维数=n，并且n的行空间的维数等于A的秩，从而A的零空间的维数为n-r（A），所以对于B来说，它的秩一定是小于等于n-r（A）的（解释：要么B中已经包含了A零空间的一组基，秩为n-r（A），要么B只包含了A零空间的几个线性相关的向量，秩小于n-r（A）），从而r（A）+r（B）小于等于r（A）+n-r（A）=n证毕。本回答被网友采纳
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