柳维尔定理怎么证明？

Question

任何一个 n>1 次代数数，都不可能是有理数， 因为有理数 必定满足
Qx-P=0 这个一次方程。 而对于每一个无理数z 都能找到一个分母越来越大的有理数列 ： P1/Q1, P2/Q2 ...... 使得 Pr/Qr → z .

柳维尔断言 对于n>1次的任意代数数 z， 这样一个逼近，精度必定达不到 1/(Qr)^(n+1),
即： | z - Pr/Qr |＞ 1/(Qr)^(n+1) -------(1)
(1)就是柳维尔定理
主要是证明下面这个了：对于n>1次的任意代数数 z， 这样一个逼近，精度必定达不到 1/(Qr)^(n+1),
即： | z - Pr/Qr |＞ 1/(Qr)^(n+1)

Answer 1

首先啰嗦一句，刘维尔定理还真是多啊，我学复变函数时遇到过，常微分方程时也遇到过，你说的这个，我还是第一次听说过呢。

首先刻画任意数列{Pr/Qr},对任意ε>0，存在正整数N,当r>N时|Pr/Qr-z|<ε，柳维尔定理就是说，对于任意符合上述条件的数列{Pr/Qr},对任意正整数N>0,一定存在r>0，使|z-Pr/Qr|>1/(Qr)^(n+1)
用反证来证明，即假设存在正整数N>0,对任意r>N，一定有
|z-Pr/Qr|<=1/(Qr)^(n+1)
那么，是不是这样呢？

这个，我也证不出来，不过，好歹我也给了个思路，你说是吧

Answer 2

假设 z满足 整数系数方程： F(x)=a0 +a1x+ a2x^2+....anx^n=0,
(an≠0),但不满足更低次数的方程，这时就称z为n次代数数。
例如：√2 是一个2次代数数。 因为它满足 x^2 -2=0 ，但不满足一次方程。 2^(1/3)是一个3次代数数....
而任何一个 n>1 次代数数，都不可能是有理数， 因为有理数 必定满足
Qx-P=0 这个一次方程。 而对于每一个无理数z 都能找到一个分母越来越大的有理数列 ： P1/Q1, P2/Q2 ...... 使得 Pr/Qr → z .