为什么向量组a和向量组b有相同秩，向量组a和向量组b

Question

如题所述

Answer 1

这个问题的回答需要用到线性代数中的一些基本概念和性质。
首先，向量组的秩是指向量组中线性无关的向量个数。
如果向量组A和向量组B有相同的秩，那么它们中包含的线性无关的向量个数相同。
这是因为，如果向量组A中的某个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么它就被称为是线性相关的。
同样地，如果向量组B中的某个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么它也被称为是线性相关的。
因此，如果向量组A和向量组B有相同的秩，那么它们中包含的线性无关的向量个数相同。
这也意味着，向量组A和向量组B的维度相同，因为它们的极大无关组中向量的个数相同。
所以，向量组A和向量组B有相同秩时，它们有相同的维度。

Answer 2

可以用利用线性无关的定义来证。
这里有一种较取巧的证法：
设向量组a与向量组b有相同的秩为r，a可由b线性表出，则a
有极大线性无关组（a1,a2,...,ar)
b
有极大线性无关组(b1,b2,...,br)
将之放到一起组成向量组c（a1,a2,...,ar,b1,b2,...,br)
,则由于b1,b2,....,br
可线性表出a1,a2,...,ar
中的任意一个，所以由极大线性无关组的定义，b1,b2,...,br是c中的极大线性无关组，于是c的秩为r，但同时a1,a2,...,ar也是线性无关的，因此也是c的极大线性无关组，这样
a1,a2,...,ar
就与b1,b2,...,br等价，因此a与b就等价（因为向量组都与自身的极大线性无关组等价）