积分∫e^(iwt) dt从负无穷到正无穷如何计算？

Question

如题所述

Answer 1

积分 ∫e^(iwt) dt 从负无穷到正无穷可以通过复变函数理论进行计算。
我们知道，e^(iwt) 是复平面上的一个周期函数，周期为 2π/w。积分范围从负无穷到正无穷相当于在一个周期上进行积分。
根据复变函数的留数定理，对于一个周期函数的积分，只有在原点处的留数对积分结果有贡献。
对于函数 e^(iwt)，它在原点处有一个极点，即 w = 0。留数的计算可以通过考虑函数在该点的洛朗级数展开来进行。
由于 e^(iwt) 是一个解析函数，它的洛朗级数展开只有常数项，即 e^(iwt) = 1 + O(t)。
因此，在原点处的留数为 1。
根据留数定理，积分 ∫e^(iwt) dt 从负无穷到正无穷的结果等于 2πi 乘以原点处的留数，即 2πi * 1 = 2πi。
所以，积分 ∫e^(iwt) dt 从负无穷到正无穷的结果是 2πi。
需要注意的是，这个结果是在复数域中得出的，表示一个复数。