为什么在0到2π上cosx的平方的定积分=sinx的平方？

Question

如题所述

Answer 1

cos²x和sin²x在[0,2π]的积分都是π.

具体积分过程如下图，主要是利用降幂公式:sin²x=1/2*(1-cos2x) cos²x=1/2*(1+cos2x)

也可以用分部积分法

我们看图，相等的原因:1的原函数是x，两者相等;而cos2x的原函数是1/2sin2x，虽然相差了符号，但是sin2x在[0,2π]的积分是0，所以取消了符号的差异，于是造成了相等。

sin²x/cos²x在[0,2π]

Answer 2

在0到2π上，cos(x)是一个偶函数，意味着它关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。因此，cos^2(x)也是偶函数，即cos^2(-x) = cos^2(x)。

根据余弦函数的定义，cos(0) = cos(2π) = 1，因此cos^2(0) = cos^2(2π) = 1。在0到2π上，cos^2(x)始终非负，因此可以将积分区间分为两个部分：0到π和π到2π。则有：

∫(0到2π) cos^2(x) dx = ∫(0到π) cos^2(x) dx + ∫(π到2π) cos^2(x) dx

在第一个积分中，可以应用三角恒等式cos^2(x) = (1+cos(2x))/2，得到：

∫(0到π) cos^2(x) dx = ∫(0到π) (1+cos(2x))/2 dx
= [x/2 + (sin(2x))/4] 从0到π
= π/2

在第二个积分中，同样可以应用三角恒等式cos^2(x) = (1+cos(2x))/2，得到：

∫(π到2π) cos^2(x) dx = ∫(π到2π) (1+cos(2x))/2 dx
= [x/2 + (sin(2x))/4] 从π到2π
= π/2

因此，

∫(0到2π) cos^2(x) dx = ∫(0到π) cos^2(x) dx + ∫(π到2π) cos^2(x) dx
= π/2 + π/2
= π

另一方面，sin(x)是奇函数，意味着sin(-x) = -sin(x)。因此，sin^2(x)也是奇函数，即sin^2(-x) = sin^2(x)。根据正弦函数的定义，sin(0) = sin(2π) = 0，因此sin^2(0) = sin^2(2π) = 0。

因此，有：

∫(0到2π) sin^2(x) dx = ∫(0到2π) [1-cos^2(x)] dx
= 2π - ∫(0到2π) cos^2(x) dx
= 2π - π
= π

因此，

∫(0到2π) cos^2(x) dx = ∫(0到2π) sin^2(x) dx = π

因此，在0到2π上，cos^2(x)的定积分等于sin^2(x)的定积分。

Answer 3

方法如下，请作参考：

若有帮助，请采纳。

Answer 4

因为y＝sin²x与y＝cos²x都是周期为π的周期函数。
并且它们在一个周期内的图像相同（只是位置不同）。
所以在（0，2π）的两个周期内对应的定积分相同。
供参考，请笑纳。