1.
g°f=idx,f°g=idy ,idx,idy 为æçæ å°,ç°è¯æ,f为åå°,g为满å°!
设x1,x2âX,使f(x1)=f(x2)
x1=idx(x1)=g°fï¼x1ï¼=g°f(x2)=idx(x2)=x2
f为åå°!
对任æx,令y=f(x)
x=idx(x)=g°f(x)=g(y)
å³ï¼å¯¹ä»»æçx,åå¨y 使g(y)=x
g为满å°!
2.
è¥g°f=idx,f°g=idy ,åf,g为ä¸ä¸æ å°,ä¸f=g(-1),g=f(-1)
è¯æï¼ç±1ç¥é,f,gå为ä¸ä¸æ å°!
ç°åªéè¯æ对任æçxâX,yâYæ
f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)
âµf(-1)°f=idx ,g(-1)°g=idy
g(y)=f(-1)°f°g(y)=f(-1)°[f°g(y)]
=f(-1)(y) 对任ä½yâYæç«.
f(x)=g(-1)°g°f(x)=g(-1)°[g°f(x)]
=g(-1)(x) 对任ä½xâXé½æç«.
â´f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)æç«!
追é®æä¸å·´ææ½æ»ä½