当x→0时，1-cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a，n．用泰勒展开cos项

Question

当x→0时，1-cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a，n．用泰勒展开cos项并相乘不是应该有六次项吗为什么最后1-cosxcos2xcos3x展开为7x^2

Answer 1

1-cosxcos2xcos3x

=1-cosx(1-2sin^2x)(cosxcos2x-sinxsin2x)

=1-cosx(1-2sin^2x)[cosx(1-2sin^2x)-2sin^2xcosx]

=1-cos^2x(1-2sin^2x)(1-4sin^2x)

=1-(1-sin^2x)(1-2sin^2x)(1-4sin^2x)

=8sin^6x-14sin^4x+7sin^2x

由于sinx与x为等阶无穷小，而sin^6x和sin^4x相对于sin^2x是高阶无穷小，因此8sin^6x-14sin^4x+7sin^2x与7x^2为等阶无穷小，即n=2，a=7。

扩展资料：

泰勒公式利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

应用泰勒中值定理可以证明中值等式或不等式命题，应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式，应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。

Answer 2

a=7，n=2，详情如图所示

Answer 3

详细解答

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望采纳

追问

其他解法也都看懂 唯独用泰勒展开的看不懂cos(2x)＝1− 1 2 (2x)2+o(x2)=1-2x2+o（x2） cos(3x)＝1− 1 2 (3x)2+o(x2)=1− 9 2 x2+o(x2) ∴1-cosxcos（2x）cos（3x）=1−(1− 1 2 x2+o(x2))（1-2x2+o（x2））(1− 9 2 x2+o(x2)) =7x2+o（x2）

追答

它这是相乘，然后取剩下的最低次幂

追问

对相乘之后有4次和6次的都不要了？

追答

嗯

因为假设要，那么由于等价无穷小，这些应当都是分母的高阶无穷小才是，所以最后也会被约掉

追问

还能这样玩 万分感谢

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