如何求指数函数的原函数？

Question

如题所述

Answer 1

要找出原函数需要使用积分法。该函数可以表示为：
f(x) = x^ e^(- x)
在对 f(x) 进行积分之前，我们需要先对指数部分进行整理。通过代数变换可得：
f(x) = e^(ln(x)) * e^(- x)
接下来我们可以利用指数函数的性质将上式简化为：
f(x) = e^(ln(x) - x)
然后就可以对该表达式进行积分了：
∫f(x) dx = ∫e^(ln(x) - x) dx
接下来使用换元积分法，令 t = ln(x)，则有：
∫f(x) dx = ∫e^(t - e^t) dt
最后将换元后的变量带入原函数即可得到结果：
∫f(x) dx = ∫e^(t - e^t) dt = - e^(-e^t) + C = - e^(-x) + C
因此原函数是 F(x) = - e^(-x) + C 。这里 C 是积分常数，具体取值取决于实际问题的需求。请根据您的需求确定 C 的取值。