如果您的儿子初三，出现了性早熟的情况，以下是一些建议：
了解性早熟的概念和原因：性早熟是指男孩或女孩在未达到正常青春期发育的情况下，出现第二性征的提前表现。这种情况可能与遗传、环境、疾病等因素有关。建议您了解相关的概念和原因，以便更好地应对。
寻求专业医生的帮助：如果您对儿子的病情感到担忧，可以咨询专业医生，进行详细的检查和诊断。医生可以根据孩子的具体情况制定相应的治疗方案，并告知您需要注意的事项。
关注孩子的心理健康：由于性早熟可能会给孩子带来一些心理上的影响，如自卑、焦虑等，因此家长需要关注孩子的心理健康状况，给予关爱和支持。可以通过与孩子沟通、鼓励他参加集体活动等方式来缓解他的心理压力。
注意饮食和生活习惯：避免让孩子过多摄入含有激素类的食物和药物，保持良好的作息时间和饮食习惯。同时，也要注意孩子的个人卫生，预防感染的发生。
建立良好的家庭关系：家庭成员之间要建立良好的沟通和信任关系，共同面对孩子的病情，给予他支持和鼓励。
面对儿子初中青春期的示爱，作为单身妈妈确实是一种挑战。首先，要理解这是一个正常的生理和心理发展阶段，孩子开始对异性产生兴趣和好奇是自然而然的事情。以下是一些建议，希望对你有所帮助：
1.保持沟通：与儿子保持良好的沟通是非常重要的。尽量了解他的想法和感受，让他知道你愿意倾听和支持他。同时，也要表达出你对他的关心和爱护，让他感受到家庭的温暖。
2.教育引导：向儿子传授正确的性知识和价值观，让他明白恋爱和性关系的责任和后果。可以借助一些中国的教育资源，如中国青少年研究中心、中国家庭教育网等，获取专业的教育指导。
3.建立界限：在尊重儿子的同时，也要明确家庭中的底线。告诉他哪些行为是可以接受的，哪些是不可以的。这样可以帮助他建立正确的行为规范。
4.增加社交活动：鼓励儿子参加课外活动和社交活动，拓宽他的人际交往圈子。这样可以让他更好地了解异性，也有助于分散他对家人的注意力。
5.寻求专业帮助：如果你觉得自己无法应对这个问题，可以寻求专业的心理咨询师或教育专家的帮助。在中国，有很多专业的心理咨询机构，如心理健康教育中心、青少年心理咨询热线等，可以为你提供支持和建议。
最后，要相信时间会解决这个问题。随着孩子的成长，他会逐渐明白自己的情感需求和家庭责任。而作为单身妈妈，你的坚强和智慧也会给孩子树立一个良好的榜样。祝你和你的儿子都能度过这个特殊的时期！