信号与系统 复数信号 物理意义

Question

我看的是奥本海姆的《信号与系统》，P185的例3.1，有两个信号的例子，第一个为复信号x（t）=e^j2t，第二个为实信号x（t）=cos4t+cos7t，我的感觉是感觉现实中的信号都应该是实数的，比如，弹簧振子振动块位移与时间的关系 ，就是x（t）=sinwt，再复杂一点的信号或许会包含很多不同的频率成分，比如方波信号，含有丰富的频率成分，但不管这些信号是什么，我的理解是它们都应该是以实数方式出现的，我很不明白当一个信号以复数方式出现时，应该怎样理解他的物理意义。

我明白，当信号做傅里叶变换成为频谱时，在频率域中，肯定会有实部和虚部，实部为幅度信息，虚部为相位信息，这个物理意义很明显。我就是不明白，不做傅里叶变换，仅仅就在时间域中，那个复信号应该怎么理解，感觉虚部的存在很影响我对信号的理解，我很难想象出这个物理意义。

交流电路中，当电信号以“相量”形式表示时，会出现复数的情况，难道这个东西就要那么去理解吗？但这还是有问题，因为电信号的相量表示法也仅仅是一种表示而已，真正的电信号其实也是一些不同频率是信号的线性组合，要分析其频谱的话，也不会用其相量来做傅里叶变换，而是时间域的信号（最终会用实信号表示），所以我不明白，为什么会有复信号。

希望高手高手高高手们能够帮我解开这个疑惑，真的很好奇啊，期待着大家的回复，现在这里谢过了。我的QQ：304764880
呵呵，我发现我对频域的理解有问题，上面叙述错了，频域中幅度信息由实部与虚部的模决定，相位信息由复数的幅角决定，当时昏头了，大家别介意哈。

Answer 1

刚刚写了一大堆，竟然发送失败！就发到这里吧！
1.实际得到了这种双边频谱，e^jwt与e^-jwt的幅度正好是cos(wt)幅度的一半[幅度谱是偶函数]；即Acos(wt)=0.5A[e^jwt+e^-jwt];合成即用欧拉公式，不是平方后求和。
2.正负频率分量的能量 各占 实际 频率分量的一半。【你再看看傅里叶变换的帕斯瓦尔能量守恒定理，就知道所有w<0的分量和所有w>0的分量的能量是相等的，能量谱是偶函数】
3.实际中不应该分开来看，而是合成来看，只谈某w>0的频率分量是多大，不谈w<0

我也说两句：
1.之所以引入复信号[有虚部]，并不是因为实际存在复信号；如同δ函数一样，实际并不存在，但是作为数学分析的角度，引入后能方便分析信号。而傅里叶级数的指数形式和傅里叶变换，都是把信号分解为e^jwt的组合。把这个数学方法用在实信号，当然是正确的，于是有傅里叶级数的三角形式。实际中实信号的频率分量的频率都是非负的，在数学形式上需要一正一负的e^jwt才得到实的正弦分量，所以实信号的频谱总是双边的频谱，实信号的频谱的幅度是偶的，相位是奇函数。总之，用e^jwt后，数学分析最简单。把实信号进行变换分解为cos,sin分量的积分变换是需要2个计算公式，而把信号分解为e^jwt的只要一个公式。

说到这里你应该明白 为什么引入复信号了吧？另外e^jwt作用在LTI系统上产生的零状态响应是特别的简单，在这个基础上就可以得出 coswt作用在LTI 实 系统上产生的零状态响应了。

2.交流电路中，虽然有相量，表面看是复数，但是他却表示一个正弦信号；如90<45°,90表示正弦的振幅，45表示相位，即表示90cos(wt+45°),这点可以理解吧？

那么为什么可以这样表示呢？首先理解：90cos(wt+45°)是实信号，电路也是实系统[实际中只有实信号和实系统]，于是电流或电压响应也是实的；于是90cos(wt+45°)作为复信号 90e^(wt+45°)的实部，90e^j(wt+45°)经过系统后的响应为 90e^j(wt+45°)H(jw);
还是个复信号，但是响应也是实的，所以他等于 90e^j(wt+45°)H(jw)的实部。假设90e^j(wt+45°)是电流，即90cos(wt+45°)，他经过1+jw的阻抗[相当于系统频率响应]，那么，设w=1；该阻抗上的电压是： 90e^j(t+45°)H(j1)=...=90√2e^j(t+45°+45°)，写成相量形式为90√2<90°，转换成90√2cos(t+90°)，而这个正是响应的实部呀。
也就是说，相量A<θ是用来表示Acos(wt+θ),并不是复信号，....

Answer 2

您对于傅里叶变换恐怕并不十分理解
傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成,也就是说,把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加,那对于非周期信号来说,每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别,你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小,但这些无限小是有差别的
所以,傅里叶变换之后,横坐标即为分离出的正弦信号的频率,纵坐标对应的是加权密度
对于周期信号来说,因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分,所以其加权不为零——在幅度谱上,表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的,所以我们用冲激函数表示
已经说过,傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示,因此非正弦信号进行傅里叶变换,会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍.这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号,使之趋近于原信号的.所以说,频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的）,就是原信号频率.
傅里叶变换把信号由时域转为频域,因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下,我们隔一段时间采集一次信号进行变换,才能体现出信号在频域上随时间的变化.
我的语言可能比较晦涩,但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用.我已经很久没在知道上回答过问题了,之所以回答这个问题,是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识.傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行.但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟.建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》,会有所帮助.

Answer 3

1.实际得到了这种双边频谱，e^jwt与e^-jwt的幅度正好是cos(wt)幅度的一半[幅度谱是偶函数]；即Acos(wt)=0.5A[e^jwt+e^-jwt];合成即用欧拉公式，不是平方后求和。
2.正负频率分量的能量 各占 实际 频率分量的一半。【你再看看傅里叶变换的帕斯瓦尔能量守恒定理，就知道所有w<0的分量和所有w>0的分量的能量是相等的，能量谱是偶函数】
3.实际中不应该分开来看，而是合成来看，只谈某w>0的频率分量是多大，不谈w<0

我也说两句：
1.之所以引入复信号[有虚部]，并不是因为实际存在复信号；如同δ函数一样，实际并不存在，但是作为数学分析的角度，引入后能方便分析信号。而傅里叶级数的指数形式和傅里叶变换，都是把信号分解为e^jwt的组合。把这个数学方法用在实信号，当然是正确的，于是有傅里叶级数的三角形式。实际中实信号的频率分量的频率都是非负的，在数学形式上需要一正一负的e^jwt才得到实的正弦分量，所以实信号的频谱总是双边的频谱，实信号的频谱的幅度是偶的，相位是奇函数。总之，用e^jwt后，数学分析最简单。把实信号进行变换分解为cos,sin分量的积分变换是需要2个计算公式，而把信号分解为e^jwt的只要一个公式。

说到这里你应该明白 为什么引入复信号了吧？另外e^jwt作用在LTI系统上产生的零状态响应是特别的简单，在这个基础上就可以得出 coswt作用在LTI 实 系统上产生的零状态响应了。

2.交流电路中，虽然有相量，表面看是复数，但是他却表示一个正弦信号；如90<45°,90表示正弦的振幅，45表示相位，即表示90cos(wt+45°),这点可以理解吧？

那么为什么可以这样表示呢？首先理解：90cos(wt+45°)是实信号，电路也是实系统[实际中只有实信号和实系统]，于是电流或电压响应也是实的；于是90cos(wt+45°)作为复信号 90e^(wt+45°)的实部，90e^j(wt+45°)经过系统后的响应为 90e^j(wt+45°)H(jw);
还是个复信号，但是响应也是实的，所以他等于 90e^j(wt+45°)H(jw)的实部。假设90e^j(wt+45°)是电流，即90cos(wt+45°)，他经过1+jw的阻抗[相当于系统频率响应]，那么，设w=1；该阻抗上的电压是： 90e^j(t+45°)H(j1)=...=90√2e^j(t+45°+45°)，写成相量形式为90√2<90°，转换成90√2cos(t+90°)，而这个正是响应的实部呀。
也就是说，相量A<θ是用来表示Acos(wt+θ),并不是复信号，....

Answer 4

刚刚写了一大堆，竟然发送失败！就发到这里吧！
1.实际得到了这种双边频谱，e^jwt与e^-jwt的幅度正好是cos(wt)幅度的一半[幅度谱是偶函数]；即Acos(wt)=0.5A[e^jwt+e^-jwt];合成即用欧拉公式，不是平方后求和。
2.正负频率分量的能量
各占
实际
频率分量的一半。【你再看看傅里叶变换的帕斯瓦尔能量守恒定理，就知道所有w<0的分量和所有w>0的分量的能量是相等的，能量谱是偶函数】
3.实际中不应该分开来看，而是合成来看，只谈某w>0的频率分量是多大，不谈w<0
我也说两句：
1.之所以引入复信号[有虚部]，并不是因为实际存在复信号；如同δ函数一样，实际并不存在，但是作为数学分析的角度，引入后能方便分析信号。而傅里叶级数的指数形式和傅里叶变换，都是把信号分解为e^jwt的组合。把这个数学方法用在实信号，当然是正确的，于是有傅里叶级数的三角形式。实际中实信号的频率分量的频率都是非负的，在数学形式上需要一正一负的e^jwt才得到实的正弦分量，所以实信号的频谱总是双边的频谱，实信号的频谱的幅度是偶的，相位是奇函数。总之，用e^jwt后，数学分析最简单。把实信号进行变换分解为cos,sin分量的积分变换是需要2个计算公式，而把信号分解为e^jwt的只要一个公式。
说到这里你应该明白
为什么引入复信号了吧？另外e^jwt作用在LTI系统上产生的零状态响应是特别的简单，在这个基础上就可以得出
coswt作用在LTI
实
系统上产生的零状态响应了。
2.交流电路中，虽然有相量，表面看是复数，但是他却表示一个正弦信号；如90<45°,90表示正弦的振幅，45表示相位，即表示90cos(wt+45°),这点可以理解吧？
那么为什么可以这样表示呢？首先理解：90cos(wt+45°)是实信号，电路也是实系统[实际中只有实信号和实系统]，于是电流或电压响应也是实的；于是90cos(wt+45°)作为复信号
90e^(wt+45°)的实部，90e^j(wt+45°)经过系统后的响应为
90e^j(wt+45°)H(jw);
还是个复信号，但是响应也是实的，所以他等于
90e^j(wt+45°)H(jw)的实部。假设90e^j(wt+45°)是电流，即90cos(wt+45°)，他经过1+jw的阻抗[相当于系统频率响应]，那么，设w=1；该阻抗上的电压是：
90e^j(t+45°)H(j1)=...=90√2e^j(t+45°+45°)，写成相量形式为90√2<90°，转换成90√2cos(t+90°)，而这个正是响应的实部呀。
也就是说，相量A<θ是用来表示Acos(wt+θ),并不是复信号，....

Answer 5

不存在复信号。你要理解的是欧拉定理
e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

做完下面的工作你就会深刻的理解和接受这种表达方式：
你试着用两种方法计算一下两个波相乘和两个波相加，一种只用三角函数表达来计算的，一种用复数表达计算的。然后用上面的公式带进去你会发现复数计算的结论的实部与三角函数计算的结论完全一致。 但是复数计算要相当简单，三角函数计算要相当繁琐。我刚刚花了十多分钟算了一下来验证。要用到三角函数的乱七八糟计算，我早就忘光了，现查的。

因为只有实部有意义。这种复数的表达方式又在数学上非常容易计算，所以一般研究理论都用复数的形式替代三角函数的形式。方便推导计算。但结论以实部为准，虚部无意义。不过大家都接受了复数的表达法，根本就没有必要把结论再转成只有实部的形式来表达。

另外再说下，你对频域的理解也应该有问题。错的