数学证明题

Question

如图所示,已知正方形ABCD,E,F分别是BC,CD边的中点,AE,BF交于点P.(1)探索AE,BF有何数量关系及位置关系.(2)求证:AD=PD。
图中G点改为P点！！！！！！！！！！！！

Answer 1

答；  AE＝BF

                ∵四边形ABCD是正方形

                ∴AB＝BC＝CD  ∠B＝∠C＝90°

                ∵E,F分别是BC,CD边的中点

                ∴BE＝1/2BC ,  CF＝1/2CD

                ∴BE＝CF

          在△ABE和△BCF中

                 AB＝BC

               ∠B＝∠C

                 BE＝CF

                ∴△ABE≌△BCF

                ∴AE＝BF               

              

                 AE⊥BF

             ∵△ABE≌△BCF

             ∴∠BAE＝∠CBF

             ∵∠ABF+∠CBF＝90°  

             ∴∠ABF+∠BAE＝90°  

            ∴∠BGA＝180°-（∠ABF+∠BAE）＝90°

            ∴AE⊥BF

2..证明：延长BF、AD相交于点G  

  .       ∵ △ABE≌△BCF 

          ∴∠BAE＝∠CBF
          ∵∠BAE+∠AEB＝90
          ∴∠CBF+∠AEB＝90
          ∴∠BPE＝90
          ∴∠APG＝∠BPE＝90
          ∵∠BFC＝∠GFD，∠BCD＝∠GDC＝90
          ∴△GDF≌△BCF
          ∴DG＝BC
          ∴DG＝AD
          ∴D是AG的中点
          ∴AD＝PD       

【ps;第二问实在想不出，所以借鉴了下别人的，除了第二问全是自己写的，不会的话看看这个

        网址；http://zhidao.baidu.com/question/2074164474821686028.html】

Answer 2

(1)在直角三角形ABE与直角三角形BCF中AB=BC,BE=CD
所以三角形ABE≌三角形BCF
∠AEB=∠BFC
所以∠FBE+∠AEB=∠FBE+∠BFC=90度
所以AE⊥BF

（2）

证明：延长BF、AD相交于点G
∵E是BC的中点
∴BE＝BC/2
∵F是CD的中点
∴CF＝DF＝CD/2
∵BC＝CD
∴BE＝CF
∵AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90
∴△ABE≌△BCF
∴∠BAE＝∠CBF
∵∠BAE+∠AEB＝90
∴∠CBF+∠AEB＝90
∴∠BPE＝90
∴∠APG＝∠BPE＝90
∵∠BFC＝∠GFD，∠BCD＝∠GDC＝90
∴△GDF≌△BCF
∴DG＝BC
∴DG＝AD
∴D是AG的中点
∴AD＝PD  （直角三角形中线特性）

 

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Answer 3

在直角三角形ABE与直角三角形BCF中AB=BC,BE=CD
所以三角形ABE≌三角形BCF
∠AEB=∠BFC
所以∠FBE+∠AEB=∠FBE+∠BFC=90度
所以AE⊥BF

Answer 4

(1)相等，垂直 AB=BC,BE=CF,∠C=∠ABE=90º,∴ABE≌BCF,∴∠AEB=∠CFB∴∠BPE=∠C=90º
(2)区AB中点Q,则DQ∥BF且⊥AE交于R,易证R为AP中点，即DR垂直平分AP,∴AD=PD

Answer 5

第一个证三角形abe和三角形bfc全等ae=bf，ae就垂直bf