时频的分析窗口

Question

如题所述

Answer 1

我们先来求ψ_a，b（t）的傅氏变换

地球物理信息处理基础

如果母小波ψ（t）的傅氏变换Ψ（ω）是中心频率为ω₀、宽度为D_ω的带通函数，那么Ψ_a，b（ω）是中心为ω₀/a、宽度为D_ω/a的带通函数，如图6-4所示。根据Parseval恒等式，由式（6-21）得到

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因此，连续小波变换给出了信号频谱在频域窗Ψ_a，b（ω）或Ψ（aω）内的局部信息。

图6-4 母小波和小波的频率特性

设ω₀＞0，a为正实变量，那么可以把ω₀/a看成频率变量。Ψ_a，b（ω）的带宽与中心频率之比为相对带宽，即［（D_ω/a）/（ω₀/a）］=D_ω/ω₀。相对带宽与尺度参数a或中心频率的位置ω₀/a无关，这就是所谓“恒Q性质”（Constant Q Property）。把ω₀/a看成频率变量后，“时间-尺度”平面等效于“时间-频率”平面。因此，连续小波变换的时间-频率定位能力和分辨率也可以用时间-尺度平面上的矩形分析窗口（时频窗）来描述，该窗口的范围是：

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窗口宽为aD_t（即ψ_a，b（t）的有效宽度），高为D_ω/a（即Ψ_a，_b（ω）的有效宽度），面积为aD_t×（D_ω/a）=D_tD_ω，与a无关，仅取决于ψ（t）的选择。因此，一旦选定了母小波，分析窗口的面积也就确定了。

小波变换的时频局部化机理：对于参数a固定、参数b变化的情形，小波变换（CWT_ψ）（a，b）是关于变量b的时域函数；由于Ψ_a，b（ω）是频窗函数的缘故，小波变换（CWT_ψ）（a，b）实际上是被限制在

的子频带范围内的时域函数。

对于参数a和参数b都固定的情形，由于ψ_a，b（t）是时窗函数和Ψ_a，b（ω）是频窗函数的缘故，（CWT_ψ）（a，b）的时域和频域表现实际上被限制在

范围内。由于（CWT_ψ）（a，b）是与f（t）对应的一种积分变换，所以小波变换（CWT_ψ）（a，b）实际上是在积分变换机制下将f（t）和F（ω）限制在时频窗内的一种局部化表现。换句话说，（CWT_ψ）（a，b）在时窗内的表现对应着f（t）在时窗内的表现，

［（CWT_ψ）（a，b）］在频窗内的表现对应着F（ω）在频窗内的表现。

小波变换的时频窗（分析窗口）的自适应性：从小波窗函数ψ_a，b（t）的参数选择方面观察。b仅仅影响分析窗口在相平面时间轴上的位置，而a 不仅影响分析窗口在频率轴上的位置，也影响分析窗口的形状。当a较小时，频窗中心ω₀/a调整到较高的频率中心的位置，且时频窗形状变窄；因为高频信号在很短的时域范围内的幅值变化大，频率含量高，所以这种“窄”时频窗正好符合高频信号的局部时频特性，尺度参数a越小，小波ψ_a，b（t）的有效宽度将越窄，因而小波分析的时域分辨率将越高。同样，当a较大时，频窗中心ω₀/a调整到较低位置，且时频的分析窗口形状变宽；因为低频信号在较宽的时域范围内仅有较低的频率含量，所以这种“宽”的时频窗正好符合低频信号的局部时频特性。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是具有调节性的，即在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正好符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。这正是它优于经典的傅氏变换与短时傅氏变换的地方。

图6-5 小波变换的分析窗宽度随频率升高（尺度减小）而变窄

从总体上来说，小波变换比短时傅氏变换具有更好的时频分析窗口特性。WFT仅具有不变时频分析窗口，无论频窗中心处于何处，其时窗形状不改变，该时频分析窗口显得很单一，相比之下，小波变换的时频分析窗口是灵活可调的。小波变换具有的这一宝贵性质称为“变焦距”性质（Zooming），图6-5说明了这一性质，它与图6-2恰成鲜明对照。