一元四次方程的应用举例，以方程x4-1=0为例。这个方程的系数为：a=1, b=0, c=0, d=0, e=-1。根据韦达定理，我们有P=4, Q=0, D=-256, u=6, v=-6, y=0, N=4, M=-4。通过求解，得到方程的四个根为：X1=1, X2=-1, X3=i, X4=-i。其中，X1和X2为实根，X3和X4为虚根。这就是方程x4-1=0的四个根。
首先，我们来回顾一下四次方程的根与系数之间的关系。对于形如ax4 + bx3 + cx2 + dx + e=0的四次方程，其根与系数之间的关系可以用韦达定理来表示。在本例中，方程为x4 - 1=0，即a=1, b=0, c=0, d=0, e=-1。根据韦达定理，我们得到P=4, Q=0, D=-256, u=6, v=-6, y=0, N=4, M=-4。
接下来，我们利用这些信息求解方程的根。首先，我们可以通过分解得到方程(x2 - 1)(x2 + 1) = 0。进一步分解得到(x-1)(x+1)(x2 + 1) = 0。这样，我们就可以得到方程的三个实根：X1=1, X2=-1。接着，我们来求解虚根。方程x2 + 1 = 0有两个解，分别是i和-i，即X3=i, X4=-i。因此，方程x4-1=0的四个根为：X1=1, X2=-1, X3=i, X4=-i。
总结来说，方程x4-1=0的四个根中，有两个实根（X1=1, X2=-1），两个虚根（X3=i, X4=-i）。这种四次方程的解法可以应用到很多实际问题中，如物理、工程、经济等领域的模型建立和求解。