为什么lim （x趋于0）(1+x)^(1/x)等于e？

Question

如题所述

Answer 1

因为x趋于0，所以lim[(1+x)^(1/x)]=lim(1+x)^∞=e

解题过程如下：

原式 = lim (e^(ln(1+x)/x) -e)/x

=lim e(e^(ln(1+x)/x - 1) -1 ) /x

=lim e(ln(1+x)/x -1)/x

=e lim (ln(1+x)-x)/x²

=e lim (1/(1+x)-1) / 2x

=e lim -x/(2x(1+x))

=lim[(1+x)^(1/x)]

=lim(1+x)^∞

=e

扩展资料

求函数极限的方法：

利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。

采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

Answer 2

解：本题利用了洛必达法则进行求解。

首先需要设y=(1+1/x)^x， 

两边同时取自然对数得 lny=xln(1+1/x)=[ln(1+1/x)]/(1/x) 

由洛必达法则lny=lim【x→∞】[ln(1+1/x)]/(1/x)=[1/(1+1/x)] (1/x) '/(1/x)'=1/(1+1/x)=1 

所以y=e【x→∞】 即lim(x→∞) (1+1/x)^x=e。

扩展资料：

洛必达法则的应用条件：

一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；

二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

参考资料来源：百度百科- 洛必达法则

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Answer 3

如果需要证明的话，有一个简单方法：

1. (1-1/x)^(-x)=1/((1-1/x)^x)
2. 为了打字方便，只看分母，也就是(1-1/x)^x=exp(ln((1-1/x)^x)))=exp(x*ln(1-1/x))=exp((ln(1-1/x))/(1/x))，令1/x=t，也就是=exp((ln(1-t))/t) (注意括号的层数)
3. 用洛比达法则：因为分子分母在x趋向正无穷的时候的极限都为0，所以上下求导，lim ln(1-t))/t=lim(-1/(1-t))/1=-1
4. 所以回到2：lim(1-1/x)^x=lim exp(ln((1-1/x)^x)))=exp(-1)=e^-1
5. 回到1： lim(1-1/x)^(-x)=lim1/((1-1/x)^x)=1/e^-1=e本回答被网友采纳

Answer 4

这个问题的证明比较复杂，需要用到高等数学，符号较复杂，难以写出
当x趋于正无穷大或负无穷大时，“1加x分之一的x次方”这个函数表达式（1+1/x）^x的极限就等于e，用公式表示，即：

lim（1+1/x）^x＝e
（x趋于±∞）

实际上e就是欧拉通过这个极限而发现的，它是个无限不循环小数，其值等于2.71828……。以e为底的对数叫做自然对数，用符号“ln”表示。

Answer 5

因为x趋于0，lim[(1+x)^(1/x)] 等同于 x →∞ lim(1+1/x)^x,这个式子 就e的定义