求一个行列式的全部代数余子式

Question

是不是要求这个行列式的每个元素的代数余子式，还要求这个行列式的所有子式的代数余子式啊？我看书上讲解部分，有一块儿的定义是行列式的k阶子式的代数余子式，所以感觉求这个行列式的“全部”代数余子式时，应该都求出来。可是答案只求了每个元素的代数余子式。请教明白人士给解释（是答案不全面吗？）非常感谢！

Answer 1

在一个n级行列式D中,把元素aij (i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后，剩下的(n-1)^2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式，Mij带上符号(-1)^(i+j)称为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j)Mij 。

代数余子式这个概念是求矩阵的逆的时候用到的，它只能针对矩阵的元素，不针对块。追问

这里说的就是您所谓的针对块的吧。

追答

全部代数余子式就是对于每个aij，划掉其所在行和所在列，剩下的元素求行列式再乘以一个(-1)^(i+j)就可以了。代数余子式正因为要乘以(-1)^(i+j)，所以是不可能针对块的（要不然i和j都不确定）。
代数余子式这个概念完全是为了求伴随矩阵进而求矩阵的逆所创立的，其实没多大用途。

追问

呃，难道您不知道，可以同时划去两行两列、三行三列……这些情况吗？是可以确定i,j的。书上不就是这样的一个例子吗？=。= || 还是谢谢你了。

追答

当然可以划去多行多列，但那样就只能求余子式，而不能求代数余子式了。

追问

可以求代数余子式，请您看一下我发的图片，好吗？

追答

额，不好意思，是我记错了。我刚才查了一下我的书，代数余子式的确是你书上那样定义的。

如果这样说来的话，你这道题目的参考答案就是有问题的，你自己的理解是正确的。
不过不要纠结与这个题目，代数余子式这个概念在线性代数里基本没什么价值。。。