质数问题

Question

证明：集合{2的2的（n-1）次方+1}互质
集合{2的2的（n-1）次方+1}中的元素互质

Answer 1

这是费马数的通式(n≥1)。
把形为Fn=2^(2^n)+1(n∈N)的数称为费马数。
证明：
设m>n≥0 (m,n∈N)，
(Fm,Fn)=(2^(2^m)+1,2^(2^n)+1) (正整数m，n的最大公约数写做(m，n))，
因为2^(2^m)-1
=(2^(2^(m-1))-1)(2^(2^(m-1))+1)
=(2^(2^(m-2))-1)(2^(2^(m-2))+1)(2^(2^(m-1))+1)
=……
=(2^(2^n)+1)(……)，
所以2^(2^n)+1能整除2^(2^m)-1，
根据辗转相除，
(Fm,Fn)=(2^(2^m)-1+2，2^(2^n)+1)
=(2，2^(2^n)+1)=(2，1)=1，
所以任意两个费马数都互质。
以上参考自
1.费马数_百度百科http://baike.baidu.com/view/443594.htm
2.辗转相除_百度百科http://baike.baidu.com/view/1376155.htm

Answer 2

这是费马数的通式(n≥1)。
把形为Fn=2^(2^n)+1(n∈N)的数称为费马数。
证明：
设m>n≥0 (m,n∈N)，
(Fm,Fn)=(2^(2^m)+1,2^(2^n)+1) (正整数m，n的最大公约数写做(m，n))，
因为2^(2^m)-1
=(2^(2^(m-1))-1)(2^(2^(m-1))+1)
=(2^(2^(m-2))-1)(2^(2^(m-2))+1)(2^(2^(m-1))+1)
=……
=(2^(2^n)+1)(……)，
所以2^(2^n)+1能整除2^(2^m)-1，
根据辗转相除，
(Fm,Fn)=(2^(2^m)-1+2，2^(2^n)+1)
=(2，2^(2^n)+1)=(2，1)=1，
所以任意两个费马数都互质。
以上参考自
1.费马数_百度百科

2.辗转相除_百度百科