连通性：空间结构的基石
在拓扑学的基石中，连通性描绘了空间结构的完整性。它定义为，一个拓扑空间若非空且不存在非空的开集将其分割成两个独立的部分，即视为连通。这一特性反映了空间中两点间存在路径连接的基本原则。
连通性的等价表述包括：不存在非空闭集将空间隔开，不存在非开闭集，以及任何连续映射在该空间上都不是单点映射。例如，单点空间是连通的，而离散空间因其无数个互不相交的点，非连通；非空平凡空间（所有点都连接）则显而易见地连通；有限补空间，如有限个点组成的集合，同样具备连通性。
连通集的性质揭示了它们的内在联系
连通集的子集保持连通性，只要在相对拓扑下仍保持为一个整体。我们常常通过反证法来证明，比如有界闭区间，由于其边界点的连通性，证明其必然连通。
关键命题揭示连通性的组合性质
命题10.7指出，两个具有公共点的连通集并集，其连通性得以保持。这是通过考察连续映射的常值性来证明的。另外，数轴子集的连通性与区间有着直接的对应关系：有界闭区间、无限区间（含端点）和开区间（不含端点）均是连通的。
更进一步，连通空间的连续像保持连通性，这是通过复合映射的连续性及原空间连通性来确保的。同样，连通集的子集连通性涉及证明映射在闭集上的行为，可以使用数学归纳法来论证。
连通性的扩展与复杂性
有限个连通空间的直积仍然保持连通，这依赖于子集与有限直积的同胚性。而对于一族连通空间，通过投影映射和选择公理，我们能证明它们的积空间是连通的。
连通性的概念并非仅限于直观的路径连接，还有更深入的描述，如道路连通性，即空间中的两点之间存在连续映射构成的路径。道路连通性揭示了空间结构的路径连通特性，而连通分支和道路连通分支则为研究复杂空间提供工具。
尽管连通性概念看似简洁，但其应用和证明过程可能涉及复杂的数学论证，如实数性质和介值定理。比如，某些空间可能连通但非道路连通，证明过程可能涉及对闭包和连通分支的细致分析。
通过一系列的例证，我们展示了连通性在不同空间结构中的表现，以及其与道路连通性、等价关系、连通分支等概念的相互作用。连通性不仅是空间结构的基础，也是理解拓扑性质的关键。
最后，通过对比和实例，我们展示了连通性在处理复杂空间结构时的局限性和独特性，为后续章节探讨分离公理（1）打下了坚实的基础。