证明矩阵行秩等于列秩

Question

如题所述

Answer 1

在矩阵理论中，行秩和列秩实际上是相同的。当我们考虑矩阵 [A]，其维度为 [m x n]，作为从 [V]（维度为 m）到 [W]（维度为 n）的映射时，其零空间 [N(A)] 和 [N(A^T)] 的维度揭示了矩阵的性质。通过构造零空间的正交基，我们发现 [N(A)] 和 [N(A^T)] 的维度相等，这表明 [A] 的行向量线性无关的数目与列向量相同，从而证明了行秩等于列秩。

进一步的证明显示，设 [V] 的一组正交基 [B1] 为 [m-k] 个元素，而 [W] 中剩余 [k] 个元素为 [B2]。对于 [A] 的任意列向量，其在 [B1] 和 [B2] 中的投影是互相垂直的，因此 [A] 的列向量组和行向量组是正交的。这就确保了行秩与列秩相等，从而得证了这一重要性质。