可逆矩阵等价条件

Question

如题所述

Answer 1

当讨论一个方阵 A 是否可逆时，关键的等价条件是其行列式（︱A︱）非零。这个条件是确定矩阵可逆性的充分必要条件，也就是说，如果 A 的行列式不为零，那么 A 是可逆的，反之亦然。

对于一个 n 阶方阵 A，有以下一系列等价陈述：

A 是可逆的。
A 的行列式值不为零。
A 的秩（即非零行向量组的线性独立数量）等于 n，表明 A 满秩。
A 的转置矩阵 A 也是可逆的，这表明矩阵的线性性质在转置后依然保持。
矩阵 AA 的乘积是可逆的，即存在逆矩阵。
存在另一个 n 阶方阵 B，使得它们的乘积 AB 等于单位矩阵 In，同样，BA 也等于 In，这表明 A 可以通过某个矩阵 B 来“逆向”操作。