当讨论一个方阵 A 是否可逆时,关键的等价条件是其行列式(︱A︱)非零。这个条件是确定矩阵可逆性的充分必要条件,也就是说,如果 A 的行列式不为零,那么 A 是可逆的,反之亦然。
对于一个 n 阶方阵 A,有以下一系列等价陈述:
A 是可逆的。
A 的行列式值不为零。
A 的秩(即非零行向量组的线性独立数量)等于 n,表明 A 满秩。
A 的转置矩阵 A 也是可逆的,这表明矩阵的线性性质在转置后依然保持。
矩阵 AA 的乘积是可逆的,即存在逆矩阵。
存在另一个 n 阶方阵 B,使得它们的乘积 AB 等于单位矩阵 In,同样,BA 也等于 In,这表明 A 可以通过某个矩阵 B 来“逆向”操作。