概率论卷积公式问题

Question

这道题第一问 我用卷积公式把Y=(Z-X)/2求出来就是错的 和结果少了个1/2
用X=Z-2Y算出来就是对的 请用Y=(Z-X)/2算出第一问结果

Answer 1

我知道你哪里错了 卷积公式的实质是二重积分的变量替换法 这中间有一个雅克比行列式你可能是忘记了
对于这题来说 设u=x v=x=2y |J|=1/2
所以有∫∫(D)f(x,y)dxdy=∫∫(D′)f(u,v)|J|dudv
|J|=|au/ax au/ay|（雅克比行列式）
|av/ax av/ay|

Answer 2

解：不是Z=X+Y型不能直接卷积，需要雅克比行列式，绕远路而且容易错。
不如做一下简单的替换,变成X+Y型。
设T=2Y
fT(t)=e(-t),t>0
Z=X+T
fX(x)=1/2
f(x,t)=1/2 *e(-t),t>0,x∈（0,2）
z<2时
0<t<z
fz(z)=∫(-∞,+∞)f(z-t,t)dt=(1-e^(-z))/2
z>=2时，
fz(z)=∫(-∞,+∞)f(z-t,t)dt=(e^(2-z)-e^(-z))/2
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Answer 3

答案是多少啊？
我验证一下