已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,求证(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)>1000/27

Question

如题所述

Answer 1

1]
不妨设a≥b≥c＞0.
由题设a+b+c=1及a,b,c均为正数易知,
0＜c≤b≤a＜1,且0＜c≤1/3
[2]
构造函数f(x)=x+(1/x).0＜x＜1
易知,该函数在(0,1)上递减
由0＜c≤b≤a＜1可知
0＜f(c)≤f(b)≤f(a),即
∴f(a)*f(b)*f(c)≥f³(c)＞0
即(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥(c+1/c)³
[[3]]
∵函数f(x)=x+(1/x)在(0,1/3]上递减.
∴结合c∈(0,1/3]可知,恒有
f(c)≥f(1/3)=3+(1/3)=10/3
∴f³(c)≥(10/3)³=1000/27
综上可知.
(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥1000/27