AB是抛物线y²=4ax(a>0)上不同于原点o的俩个动点,以AB为直径的圆过原点o,求证AB过定点

Question

如题所述

Answer 1

设kOA=k ，则有kOB=-1/k
则A(4a/k^2,4a/k) B(4ak^2,-4ak)
那么有kAB=(4a/k+4ak)/(4a/k^2-4ak^2)=k/(1-k^2)
即AB方程是：:y+4ak=[k/(1-k^2)](x-4ak^2)
即y=[k/(1-k^2)](x-4a)
∴AB经过定点(4a,0)

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解;
OA⊥OB
设直线OA:y=kx,直线OB:y=-x/k
解下方程组:
y=kx
y^2=4ax
得A(4a/K^2,4a/K)
同理,解下方程组:
y=-x/k
y^2=4ax
得B(4aK^2,-4aK)
直线AB的斜率：kAB=K/(1-K^2)
直线AB：Y+4aK=[K/（1-K^2) ]*(X-4aK^2)
即有y=k/(1-k^2)*(x-4a)
即AB恒过点（4a,0)