如何学好初中数学圆的知识?

如题所述

圆,几何图形中最简单的图形之一,仅需一笔就可以成型。可是圆的学习却不像它的形状一样简单。学习圆不仅要了解它的概念,还需掌握相关的计算公式(弧线长,扇形面积等),位置关系,性质和相关定理等知识。

我们学习圆的主要目的是运用它的性质定理去解题,每一种题型的解题模式虽然不是固定的,但却是有规律可循的,所以要学好圆的知识,首先要多动笔勤做题。

下面我们以2017-2018学年上学期厦门市九年级质量检测数学卷的第24题为例,来看看如何解圆的相关题目。

第24题

第(1)题往往是基础题,所以决不能放弃,从题目条件中AB是半圆O的半径得出M=90(直径所对的圆周角为90度),然后根据勾股定理可以求出AB长度。由于ON=OB(半径相等),NOB=60,得出ONB为等边三角形,则可求出NB的长等于半径OB。

第(1)题

第(2)题通常较难,但评分标准是按步得分,所以应该尽量把自己的思路写出来。同时再复杂的题目也是基础知识的堆砌,所以解题突破口就在已知条件,从题目中我们可以知道MC垂直AB,这里可以思考垂径定理,联系P是MN的中点,可以迅速想到中位线,这样辅助线的雏形就出来了。最后就是转化思想的应用了。

第(2)题

对于如何东西的学习都不可能是一蹴而就的,都需要一个过程。圆的学习也是如此,所以要学好圆的知识,一定要通过勤加练习,不断反思。这样才能成就自我!

温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
第1个回答  2018-12-13
我认为首先要懂的圆的定义,要记住,才能在题目中灵活运用。
一、圆及圆的相关量的定义(28个)
1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。
5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。
6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
二、有关圆的字母表示方法(7个)
圆--⊙ 半径—r 弧--⌒ 直径—d
扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S
三、有关圆的基本性质与定理(27个)
1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离): P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r。
2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。
3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。
4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。
8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距离相等。
9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):
AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO<r。
10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线,是这个圆的切线。
11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P):
外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r<P<R+r;内切P=R-r;内含P<R-r。
四、有关圆的计算公式
1.圆的周长C=2πr=πd
2.圆的面积S=πr²
3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl
五 圆的方程
1.圆的标准方程
在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
2.圆的一般方程
把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2
相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r.
六 圆与直线的位置关系判断
 平面内,直线Ax+By+C=O与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是
讨论如下2种情况:
(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0],
代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0.
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:
如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交
如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切
如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离
(2)如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y轴(或垂直于x轴)
将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1<x2
当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时,直线与圆相离
当x1<x=-C/A<x2时,直线与圆相交
当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切
一、圆的定义。
1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径:圆上一点与圆心的连线段。
2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。
(1)劣弧:小于半圆周的弧。
(2)优弧:大于半圆周的弧。
5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。
6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。
7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
(1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论:
 平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
 平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r,OP=d。
7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离相等。
(直角三角形的外心就是斜边的中点。)
8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;
直线与圆没有交点,直线与圆相离。
2
9、平面直角坐标系中,A(x1,y1)、B(x2,y2)。
则AB=
10、圆的切线判定。
(1)d=r时,直线是圆的切线。
切点不明确:画垂直,证半径。
(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
切点明确:连半径,证垂直。
11、圆的切线的性质(补充)。
(1)经过切点的直径一定垂直于切线。
(2)经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
12、切线长定理。
(1)切线长:从圆外一点引圆的两条切线,切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。
(2)切线长定理。
∵ PA、PB切⊙O于点 A、B
∴ PA=PB,∠1=∠2。
13、内切圆及有关计算。
(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。
(2)如图,△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,⊙O切△ABC三边于点D、E、F。
求:AD、BE、CF的长。
分析:设AD=x,则AD=AF=x,BD=BE=5-x,CE=CF=7-x.
可得方程:5-x+7-x=6,解得x=3
(3)△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c。
求内切圆的半径r。
分析:先证得正方形ODCE,
得CD=CE=r
AD=AF=b-r,BE=BF=a-r
b-r+a-r=c
得r=
(4)S△ABC=
14、(补充)
(1)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。
如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角,∠ABC=∠D。
(2)相交弦定理。
圆的两条弦AB与CD相交于点P,则PA•PB=PC•PD。
(3)切割线定理。
如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,则PA2=PB•PC。
(4)推论:如图,PAB、PCD是⊙O的割线,则PA•PB=PC•PD。
15、圆与圆的位置关系。
(1)外离:d>r1+r2, 交点有0个;
外切:d=r1+r2, 交点有1个;
相交:r1-r2<d<r1+r2,交点有2个;
内切:d=r1-r2, 交点有1个;
内含:0≤d<r1-r2, 交点有0个。
(2)性质。
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
相切两圆的连心线必经过切点。
16、圆中有关量的计算。
(1)弧长有L表示,圆心角用n表示,圆的半径用R表示。
L=
(2)扇形的面积用S表示。
S= S=
(3)圆锥的侧面展开图是扇形。
r为底面圆的半径,a为母线长。
 扇形的圆心角α=
 S侧= ar S全= ar+ r2
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