求二元函数，z=x^2*y(4-x-y)在由直线x+y=8,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值，最大值和最小值。

Question

如题所述

Answer 1

D区域为x>=0, y>=0, x+y<=8
z'x=2xy(4-x-y)-x^2y=xy(8-3x-2y)=0, 得：x=0, 或y=0, 或8-3x-2y=0
z'y=x^2(4-x-y)-x^2y=x^2(4-x-2y)=0, 得：x=0 或4-x-2y=0
x=0或y=0为数轴，即为边界
8-3x-2y=0, 及4-x-2y=0, 解得：x=2, y=1, 此点在区域D内。
z"xx=y(8-6x-2y)
z"xy=x(8-3x-4y)
z"yy=-2x^2
z(0, y)=0
z(x, 0)=0
判断知x, y轴上不为极值点
z(2, 1)=4(4-2-1)=4为极大值点
在另一条边界x+y=8上，有z(x, 8-x)=x^2(8-x)(4-8)=-4x^2(8-x)=-2*x*x(16-2x)
而由均值不等式：x*x*(16-2x)<=[(x+x+16-2x)/3]^3=(16/3)^3=4096/27, 当x=16-2x, 即x=16/3时最大
故有-8192/27=<z(x, 8-x)<=0
比较极值点及边界点，得：
极值点为4，最大值为4，最小值为-8192/27