可逆的证明问题，谢谢老师。

Question

如题所述

Answer 1

以En, Em区分一下n阶和m阶单位阵.
实际上可以证明更强的结论: |Em-AB|=|En-BA|. 于是二者自然同时可逆或不可逆.
证明可以用分块矩阵, 我们引入两个分块矩阵P和Q.
分块矩阵P为:
En 0
-A Em
分块矩阵Q为:
En B
A Em
可以算得PQ为:
En B
0 Em-AB
于是|Em-AB|=|En||Em-AB|=|PQ|=|P||Q|.
另一方面QP为:
En-BA B
0 Em
于是|En-BA|=|Em-BA||En|=|QP|=|Q||P|.
所以有|Em-AB|=|En-BA|.
过程中两次用到分块上三角阵的行列式等于对角线上分块行列式的乘积, 默认你是知道的.